Из орудия произведен выстрел. В точке наивысшего подъема снаряд разорвался на две равные части. Один из осколков упал возле орудия. Какова дальность полета s второго осколка, если…

Ответ: s = 4l

Пояснение шаг за шагом (без указания предмета/класса, подход доступен ученику средней школы):

• Пусть до взрыва орудие полетело горизонтально со скоростью u. Тогда орудие достигло макушки в точке с координатами:

  • горизонтальная: x = l
  • вертикальная: y = h

• После взрыва масса m распадается на две части по m/2. В момент взрыва сохранится горизонтальный импульс:

  • до взрыва: p_x = m u
  • после взрыва: p_x = (m/2) v1x + (m/2) v2x -> v1x + v2x = 2u

  Вертикальный импульс также сохраняется, но в момент взрыва вертикальная скорость была нулевой, поэтому сумма вертикальных скоростей после взрыва тоже нулевая:

  • v1y + v2y = 0

• После взрыва обе части под действием гравитации летят по параболам. Их центр масс движется так же, как если бы не было взрыва: внешних импульсов не возникает, а только гравитация. Значит горизонтальная координата точки, в которой окажется центр масс в момент приземления, совпадает с тем, где бы приземлилась вся система без взрыва.

• Определим координату приземления оригинального снаряда без взрыва. После макушки время до приземления t_f равно sqrt(2h/g). Горизонтальное смещение за это время − Δx = u t_f. Но нам нужно выразить h через l и u:

  • В момент времени t_apex, при котором достигается макушка, вертикальная скорость обнуляется: v_y(t_apex) = 0. Значит v0y = g t_apex и t_apex = l/u, поэтому v0y = g l / u.
  • Высота макушки: h = v0y t_apex − (1/2) g t_apex^2 = g l^2 /(2 u^2).
  • Тогда t_f = sqrt(2h/g) = sqrt( (2 * g l^2 /(2 u^2)) / g ) = l/u.
  • Следовательно, Δx = u t_f = u*(l/u) = l.
  • И общая дальность Original_R = l + Δx = 2l.

• Итак, центр масс приземляется в точке x = Original_R = 2l. Но центр масс двух осколков после взрыва равен среднему их приземления: (x1_final + x2_final)/2 = 2l.

• Из условия задачи один осколок упал возле орудия, то есть его конечная горизонтальная координата x1_final примерно равна 0. Тогда для второго осколка: x2_final = 4l.

• Значит дальность полета второго осколка от орудия равна s = 4l.

Замечание:

• В рассуждении используются принципы сохранения импульсов в момент взрыва (внутренние силы взрыва не изменяют суммарный импульс системы) и принцип движения центра масс под действием только внешних сил (гравитации).
• Приведённое решение не зависит от конкретных значений g, h, u и т.д.; важен факт, что макушка находится на расстоянии l от орудия, и априори оригинальная дальность до приземления равна 2l.