x⁴ - 5x² - 36 = 0
Разбираем уравнение: x^4 - 5x^2 - 36 = 0
Часть 1. Простой метод через замену переменной (пошагово)
- Заметим, что это квадратное уравнение по x^2. Пусть y = x^2. Тогда уравнение превращается в квадратичное относительно y: y^2 - 5y - 36 = 0.
- Решим квадратное уравнение относительно y. Можно факторизовать: y^2 - 5y - 36 = (y - 9)(y + 4) = 0. Значит, y = 9 или y = -4.
- Теперь вернемся к x. Поскольку y = x^2:
- Если x^2 = 9, то x = ±3.
- Если x^2 = -4, то в области вещественных чисел это невозможно (x не существует). В комплексной области x = ±2i.
- Ответ на задачу в вещественных числах: x = -3 или x = 3. Примечание: если рассматривать комплексные числа, дополнительно есть решения x = ±2i.
Часть 2. Альтернативный метод: факторизация
- Попробуем разбить на группы: x^4 - 5x^2 - 36 = (x^4 - 9x^2) + (4x^2 - 36) = x^2(x^2 - 9) + 4(x^2 - 9).
- Факторизуем общий множитель (x^2 - 9): x^4 - 5x^2 - 36 = (x^2 - 9)(x^2 + 4).
- Решаем произведение равное нулю:
- x^2 - 9 = 0 → x = ±3.
- x^2 + 4 = 0 → x = ±2i.
- Итог тот же: вещественные корни — x = -3, 3; комплексные — x = ±2i.
Ключевые выводы
- Уравнение можно решить через замену y = x^2 или через факторизацию: оба метода приводят к корням x = ±3 и, в рамках комплексных чисел, x = ±2i.
- В реальных числах ответ: x = -3 и x = 3.
Обсуждение
2 сообщенияможно ещё подробнее расписать
Конечно! Давайте подробно разберем решение уравнения \( x^4 - 5x^2 - 36 = 0 \) шаг за шагом.
Шаг 1: Замена переменной
Мы видим, что уравнение содержит \( x^4 \) и \( x^2 \). Это позволяет нам использовать замену переменной для упрощения.
Пусть \( y = x^2 \). Тогда \( x^4 = (x^2)^2 = y^2 \).
Теперь подставим \( y \) в уравнение:
\[ y^2 - 5y - 36 = 0 \]
Шаг 2: Решение квадратичного уравнения
Теперь мы имеем стандартную форму квадратичного уравнения \( Ay^2 + By + C = 0 \), где:
- \( A = 1 \)
- \( B = -5 \)
- \( C = -36 \)
Чтобы решить это уравнение, можем использовать формулу решения квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} \]
Подставим наши значения:
\[ y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2 \cdot 1} \]
Шаг 3: Вычисления под корнем
Сначала вычислим дискриминант \( D \):
\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 \]
Теперь можем найти корни \( y \):
\[ y = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2} \] \[ y = \frac{5 \pm 13}{2} \]
Шаг 4: Находим значения y
Теперь вычисляем два значения для \( y \):
- Первый корень:
\[ y_1 = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]
- Второй корень:
\[ y_2 = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
Шаг 5: Возвращаемся к x
Теперь у нас есть два значения для \( y \):
- \( y_1 = 9 \)
- \( y_2 = -4 \)
Вспомним, что \( y = x^2 \). Теперь находим \( x \):
- Для \( y_1 = 9 \):
\[ x^2 = 9 \implies x = \pm 3 \]
- Для \( y_2 = -4 \):
\[ x^2 = -4 \]
Поскольку квадрат числа не может быть отрицательным в области вещественных чисел, \( x^2 = -4 \) не имеет действительных корней, но имеет комплексные:
\[ x = \pm 2i \]
Шаг 6: Итоговые ответы
Таким образом, из нашего уравнения мы получили два вещественных корня и два комплексных:
- Вещественные корни: \( x = -3 \) и \( x = 3 \)
- Комплексные корни: \( x = 2i \) и \( x = -2i \)
Окончательный ответ
Вещественные решения: \( x = -3, 3 \)
Комплексные решения: \( x = 2i, -2i \)
Если у вас остались вопросы или нужна помощь с другими задачами, дайте знать!
