X⁴ - 5x² - 36 = 0

Разбираем уравнение: x^4 - 5x^2 - 36 = 0 Часть 1. Простой метод через замену переменной (пошагово) 1) Заметим, что это квадратное уравнение по x^2. Пусть y = x^2. Тогда уравнение превращается в квадратичное относительно y: y^2 - 5y - 36 = 0. 2) Решим квадратное уравнение относительно y. Можно факторизовать: y^2 - 5y - 36 = (y - 9)(y + 4) = 0. Значит, y = 9 или y = -4. 3) Теперь вернемся к x. Поскольку y = x^2: - Если x^2 = 9, то x = ±3. - Если x^2 = -4, то в области вещественных чисел это невозможно (x не существует). В комплексной области x = ±2i. 4) Ответ на задачу в вещественных числах: x = -3 или x = 3. Примечание: если рассматривать комплексные числа, дополнительно есть решения x = ±2i. Часть 2. Альтернативный метод: факторизация 1) Попробуем разбить на группы: x^4 - 5x^2 - 36 = (x^4 - 9x^2) + (4x^2 - 36) = x^2(x^2 - 9) + 4(x^2 - 9). 2) Факторизуем общий множитель (x^2 - 9): x^4 - 5x^2 - 36 = (x^2 - 9)(x^2 + 4). 3) Решаем произведение равное нулю: - x^2 - 9 = 0 → x = ±3. - x^2 + 4 = 0 → x = ±2i. 4) Итог тот же: вещественные корни — x = -3, 3; комплексные — x = ±2i. Ключевые выводы - Уравнение можно решить через замену y = x^2 или через факторизацию: оба метода приводят к корням x = ±3 и, в рамках комплексных чисел, x = ±2i. - В реальных числах ответ: x = -3 и x = 3.