Задача: В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в O. Дан угол ABO = 50°. Найти угол между диагоналями.
Пусть AB и BC – стороны прямоугольника, AB горизонтальная, BC вертикальная. Обозначим ширину прямоугольника как w = AB и высоту как h = BC. Координаты можно взять такие:
A(0, h), B(w, h), C(w, 0), D(0, 0). Точка пересечения диагоналей O – середина диагоналей, но для решения нам хватит соотношений.
- Связь угла ABO с отношением h и w
Угол ABO образован сторонами AB и диагональю BD. Линия BD идёт от B к D и имеет направление вниз-влево. Поскольку BD идёт от D(0,0) к B(w,h), её наклон равен m_BD = h/w.
Угол, который диагональ BD образует с горизонтальной линией AB, равен arctan(h/w). Следовательно
∠ABO = arctan(h/w) = 50°,
то h/w = tan 50°.
Наклоны диагоналей
Диагональ BD имеет наклон m_BD = h/w = t, где t = tan 50°.
Диагональ AC имеет наклон m_AC = -h/w = -t (она идёт противоположно).
Угол между диагоналями
Угол между двумя прямыми с наклонами m1 и m2 дан формулой:
tan φ = |(m2 − m1) / (1 + m1 m2)|.
Подставим m1 = t, m2 = −t:
tan φ = |(−t − t) / (1 + t(−t))| = |−2t / (1 − t^2)| = 2t / (t^2 − 1).
Теперь t = tan 50°. Используем тождество tan(2α) = 2tanα / (1 − tan^2 α). Тогда
2t / (1 − t^2) = tan 100°,
а значит
tan φ = |tan 100°| = tan 80°.
Следовательно, φ = 80° (принимаем острый угол между диагоналями).
Ответ: угол между диагоналями равен 80°. (Вторая грань образует 100°).
