X⁴-11x²+18=0

Задача: x^4 - 11x^2 + 18 = 0 Решение по шагам (пояснения для понимания) 1) Замена переменной - Заметим, что в выражении присутствуют только x^4 и x^2. Пусть y = x^2 (y ≥ 0 для действительных x). - Тогда уравнение принимает вид: y^2 - 11y + 18 = 0. 2) Решение квадратного уравнения для y - Найдем дискриминант: Δ = (-11)^2 - 4·1·18 = 121 - 72 = 49. - Корни: y = (11 ± √49)/2 = (11 ± 7)/2. - Получаем два значения y: - y1 = (11 + 7)/2 = 18/2 = 9 - y2 = (11 - 7)/2 = 4/2 = 2 3) Возвращение к x - Теперь решаем каждое уравнение x^2 = y. - Для y = 9: x^2 = 9 → x = ±3. - Для y = 2: x^2 = 2 → x = ±√2. 4) Итоговый набор решений - Реальные решения: x = -3, x = -√2, x = √2, x = 3. - Эквивалентно факторизация: x^4 - 11x^2 + 18 = (x^2 - 9)(x^2 - 2) = (x - 3)(x + 3)(x - √2)(x + √2). Проверка (кратко) - Подставим x = 3: 3^4 - 11·3^2 + 18 = 81 - 99 + 18 = 0. Аналогично для других корней. Дополнительно (если интересно метод разложения на множители) - Можно заметить, что x^4 - 11x^2 + 18 имеет вид (x^2 - a)(x^2 - b) с ab = 18 и a + b = 11. Решающие пары: a = 9 и b = 2, поэтому получается (x^2 - 9)(x^2 - 2).