точка К делит отрезок MN в отношении МК: KN=3:2 . Вектор AM через вектор a = AK B = AN где A произвольная точка. Реши задачу с оформлением для 9 класса

Задача: точка K делит отрезок MN по отношению MK:KN = 3:2. Пусть a = AK и b = AN — векторы от A к K и от A к N соответственно. Нужно найти вектор AM.

Пошаговое решение (для 9 класса):

1. Применяем формулу внутреннего деления отрезка MN: если K делит MN так, что MK:KN = m:n, то K = (n M + m N) / (m + n). В нашем случае m = MK = 3, n = KN = 2, значит K = (2M + 3N) / 5.

2. Выразим M через K и N: 5K = 2M + 3N → 2M = 5K − 3N → M = (5K − 3N)/2.

3. Свяжем точки с точкой A через заданные векторы: a = AK = K − A, значит K = A + a; b = AN = N − A, значит N = A + b.

4. Подставим в формулу для M: M = [5(A + a) − 3(A + b)] / 2 = [5A + 5a − 3A − 3b] / 2 = A + (5a − 3b)/2.

5. Вектор AM равен разности M − A: AM = M − A = (5a − 3b)/2.

Ответ: AM = (5a − 3b)/2, где a = AK, b = AN. Эквивалентно в исходной нотации: AM = (5·AK − 3·AN)/2.