log 81 по основанию √3

Задача: вычислить log по основанию √3 от 81, то есть log_{√3} 81.

Способ 1: через представление в степенях 3

• Обозначим x = log_{√3} 81. Тогда (√3)^x = 81.
• Запишем основание и аргумент через 3: √3 = 3^{1/2}, 81 = 3^4.
• Получаем: (3^{1/2})^x = 3^4 → 3^{x/2} = 3^4.
• Так как степени равны, при основании 3 равны экспоненты: x/2 = 4 → x = 8.
• Ответ: 8.

Способ 2: по смене основания (проверка)

• log_{√3} 81 = (log_3 81) / (log_3 √3) = 4 / (1/2) = 8.
• Подстановка: (√3)^8 = (3^{1/2})^8 = 3^4 = 81, что подтверждает результат.

Проверка на корректность: √3 ≈ 1.732, 1.732^8 ≈ 81, что согласуется с ответом 8.

Итого: log_{√3} 81 = 8.