А область значения какая?

Чтобы ответить точно, нужна сама функция или задача целиком. Но могу объяснить, как находят область значений (range) и привести примеры. Целевой смысл: область значений — это множество всех y, таких что существует x из области определения, для которого f(x) = y.

Как найти область значений (пошагово)

• Шаг 1. Определить тип функции и область определения D(f). Проверить, где выражение определено (из-за корня, деления на ноль и т. п.).
• Шаг 2. Попробовать решить уравнение f(x) = y относительно x. Найти условия существования реального x в зависимости от параметра y.
• Шаг 3. В зависимости от типа функции:
  • Простые многочлены:
    • Четная степень с положительным ведущим коэффициентом дают минимум; диапазон — от минимума вверх.
    • Четная степень с отрицательным ведущим коэффициентом дают максимум; диапазон — от минуса бесконечности до максимума.
  • Квадратичная: f(x) = ax^2 + bx + c. Если a > 0, диапазон [f(vertex), ∞), где f(vertex) = c - b^2/(4a). Если a < 0, диапазон (-∞, f(vertex)].
  • Корень: f(x) = sqrt(g(x)) требует g(x) ≥ 0 и обычно дает y в виде y ≥ 0 плюс преобразование.
  • Абсолютная величина: f(x) = |g(x)| обычно имеет y ≥ минимальное значение, полученное из графика |...|.
  • Логарифм: f(x) = log_b(x) имеет диапазон (-∞, ∞) при x > 0.
  • Экспонента: f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1) имеет диапазон (0, ∞).
  • Синус/косинус: диапазон [-1, 1].
  • Тангенс/котангенс: диапазоны все Real числа (R).
  • Рациональные функции: нужно решать f(x) = y, учитывая ограничения на знаменатель и асимптоты; иногда удобнее подставлять y и проверять существование корня, иногда через дискриминант и/или анализ графика.
• Шаг 4. Для сложных случаев может потребоваться график или использование производной для нахождения локальных экстремумов.

Примеры

• Пример 1: f(x) = x^2 + 4x + 7

  • Это парабола с a > 0. Вершина при x = -b/(2a) = -4/2 = -2.
  • Значение вершины: f(-2) = 4 - 8 + 7 = 3.
  • Диапазон: [3, ∞).

• Пример 2: f(x) = sqrt(x - 1) + 2

  • Домен: x ≥ 1. Значение sqrt ≥ 0, поэтому y ≥ 2.
  • Диапазон: [2, ∞).

• Пример 3: f(x) = (x - 4)/(x + 1)

  • Решаем y = (x - 4)/(x + 1) относительно x: y(x + 1) = x - 4 → yx + y = x - 4 → x(y - 1) = -(y + 4) → x = -(y + 4)/(y - 1).
  • Требуется, чтобы существует такой x с x ≠ -1. Проверяем, когда x = -1: -(y + 4)/(y - 1) = -1 не выполняется для любых y, значит исключение только по знаменателю y ≠ 1.
  • Значит, диапазон: все значения y, кроме y = 1.
  • Ответ: (-∞, 1) ∪ (1, ∞).

• Пример 4: f(x) = sin x

  • Диапазон: [-1, 1].

Как поступать, если пришлете конкретную задачу

• Присылайте формулу функции или изображение задания.
• Я дам точное решение и по шагам объясню, как нашли область значений, с учетом ваших параметров (уровень, предмет и т.д.).

Если хотите, могу сейчас разобрать конкретную функцию, которую вы прислали в школе. Просто напишите её или приложите изображение.