Сумма периметров всех изображённых на рисунке прямоугольников равна 198 см, а периметр наибольшего из них 94 см. Найдите площадь наибольшего из изображённых прямоугольников. Ответ…

Вот подробное решение с объяснениями.

Что известно и что можно в одну строку записать

• Пусть в рисунке есть n прямоугольников с сторонами a_i и b_i.
• Их периметры P_i равны P_i = 2(a_i + b_i).
• Сумма периметров равна 198: ∑ P_i = 198. Значит ∑ (a_i + b_i) = 99.
• Самый большой по перимету прямоугольник имеет периметр 94, то есть для него a_j + b_j = 94/2 = 47.

Площадь этого rectangle

• Ему принадлежит площадь A_j = a_j b_j.
• Для фиксированной суммы s = a_j + b_j площадь ab достигает максимума, когда прямоугольник квадратный: a_j = b_j = s/2.
• Тогда максимальная площадь для данного s равна (s/2)^2.

Подстановка

• S = a_j + b_j = 47, значит A_j,max = (47/2)^2 = 2209/4 = 552.25 см².

Ответ и комментарии

• Максимальная возможная площадь наибольшего по периметру прямоугольника равна 552.25 см².
• Она достигается, если этот прямоугольник бы был квадратом со сторонами по 23.5 см.
• В реальном рисунке площадь конкретного прямоугольника с периметром 94 может быть меньше, если его стороны не равны; но по условию мы можем утверждать именно максимальную возможную площадь, как выше.

Итак: максимальная возможная площадь наибольшего прямоугольника — 552.25 см².