Смежные стороны параллелограмма равны a и b, а один из его углов равен Альфа. Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними

Решение наводится через векторный/координатный подход. ДаныAdjacent стороны параллелограмма длиной a и b, угол между ними α. 1) Расположим параллелограмм так: - A = (0,0) - B = (a,0) — сторона AB длиной a вдоль оси x - D = (b cos α, b sin α) — вектор AD длиной b, образующий с AB угол α - C = B + D = (a + b cos α, b sin α) 2) Диагонали: - AC = C − A = (a + b cos α, b sin α) - BD = D − B = (b cos α − a, b sin α) 3) Длины диагоналей (по формуле длины вектора): - |AC|^2 = (a + b cos α)^2 + (b sin α)^2 = a^2 + b^2 + 2ab cos α значит, AC = d1 = sqrt(a^2 + b^2 + 2ab cos α) - |BD|^2 = (a − b cos α)^2 + (b sin α)^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos α значит, BD = d2 = sqrt(a^2 + b^2 − 2ab cos α) 4) Угол между диагоналями: - Скалярное произведение AC · BD = (a + b cos α)(b cos α − a) + (b sin α)(b sin α) = b^2 − a^2 - Следовательно, cos θ = (AC · BD) / (|AC||BD|) = (b^2 − a^2) / sqrt[(a^2 + b^2 + 2ab cos α)(a^2 + b^2 − 2ab cos α)] Обратите внимание: чтобы получить острый угол между диагоналями, удобнее записать через абсолютное значение: - cos φ = |a^2 − b^2| / sqrt[(a^2 + b^2 + 2ab cos α)(a^2 + b^2 − 2ab cos α)] - sin φ = (2ab sin α) / sqrt[(a^2 + b^2 + 2ab cos α)(a^2 + b^2 − 2ab cos α)] - Тогда φ = arctan( (2ab sin α) / |a^2 − b^2| ), где φ ∈ [0, 90°] — искомый острый угол между диагоналями. Итого: - Длины диагоналей: d1 = sqrt(a^2 + b^2 + 2ab cos α), d2 = sqrt(a^2 + b^2 − 2ab cos α) - Угол между диагоналями (острый): φ = arctan( (2ab sin α) / |a^2 − b^2| ) (или эквивалентно φ = arccos( |a^2 − b^2| / sqrt[(a^2 + b^2 + 2ab cos α)(a^2 + b^2 − 2ab cos α)] )). Пример проверки: если a = b, то φ = 90°, что соответствует свойству диагоналей ромба перпендикулярны.