Смежные стороны параллелограмма равны a и b, а один из его углов равен Альфа. Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними

Решение наводится через векторный/координатный подход.

ДаныAdjacent стороны параллелограмма длиной a и b, угол между ними α.

1. Расположим параллелограмм так:

• A = (0,0)
• B = (a,0) — сторона AB длиной a вдоль оси x
• D = (b cos α, b sin α) — вектор AD длиной b, образующий с AB угол α
• C = B + D = (a + b cos α, b sin α)

2. Диагонали:

• AC = C − A = (a + b cos α, b sin α)
• BD = D − B = (b cos α − a, b sin α)

3. Длины диагоналей (по формуле длины вектора):

• |AC|^2 = (a + b cos α)^2 + (b sin α)^2 = a^2 + b^2 + 2ab cos α значит, AC = d1 = sqrt(a^2 + b^2 + 2ab cos α)
• |BD|^2 = (a − b cos α)^2 + (b sin α)^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos α значит, BD = d2 = sqrt(a^2 + b^2 − 2ab cos α)

4. Угол между диагоналями:

• Скалярное произведение AC · BD = (a + b cos α)(b cos α − a) + (b sin α)(b sin α) = b^2 − a^2
• Следовательно, cos θ = (AC · BD) / (|AC||BD|) = (b^2 − a^2) / sqrt[(a^2 + b^2 + 2ab cos α)(a^2 + b^2 − 2ab cos α)]

Обратите внимание: чтобы получить острый угол между диагоналями, удобнее записать через абсолютное значение:

• cos φ = |a^2 − b^2| / sqrt[(a^2 + b^2 + 2ab cos α)(a^2 + b^2 − 2ab cos α)]
• sin φ = (2ab sin α) / sqrt[(a^2 + b^2 + 2ab cos α)(a^2 + b^2 − 2ab cos α)]
• Тогда φ = arctan( (2ab sin α) / |a^2 − b^2| ), где φ ∈ [0, 90°] — искомый острый угол между диагоналями.

Итого:

• Длины диагоналей: d1 = sqrt(a^2 + b^2 + 2ab cos α), d2 = sqrt(a^2 + b^2 − 2ab cos α)
• Угол между диагоналями (острый): φ = arctan( (2ab sin α) / |a^2 − b^2| ) (или эквивалентно φ = arccos( |a^2 − b^2| / sqrt[(a^2 + b^2 + 2ab cos α)(a^2 + b^2 − 2ab cos α)] )). Пример проверки: если a = b, то φ = 90°, что соответствует свойству диагоналей ромба перпендикулярны.