Припишите к числу 1000 по 1 цифре справа и слева так, чтобы число делилось на 2 на 3 на 6 и 9.

Цель: понять. Ниже подробное решение с объяснениями. Задача: к числу 1000 приписать по одной цифре слева и справа так, чтобы новое число делилось на 2, на 3, на 6 и на 9. 1) Важно заметить: - Число делится на 2 и на 9 одновременно тогда, когда оно делится на НОК(2,9) = 18. (Если число делится на 18, то оно делится и на 2, и на 3, и на 6, и на 9.) - Поэтому будем искать такие числа, которые делятся на 18. 2) Пусть слева от 1000 стоит цифра a, справа — цифра b. Таким образом получаем число N = a 1 0 0 0 b = 100000·a + 10000 + b, где a ∈ {1,2,...,9}, b ∈ {0,1,...,9}. 3) Найдем N по модулю 18. - 100000 ≡ 10 (mod 18), потому что 100000 = 18·5555 + 10. - 10000 ≡ 10 (mod 18), потому что 10000 = 18·555 + 10. Тогда N ≡ 10a + 10 + b ≡ 10(a+1) + b (mod 18). Требуется: 10(a+1) + b ≡ 0 (mod 18). Так как 10 ≡ -8 (mod 18), можно переписать как b ≡ -10(a+1) (mod 18) ≡ 8(a+1) (mod 18). 4) Пробуем значения a от 1 до 9 и ищем подходящее b в диапазоне 0…9. - a = 1: b ≡ 8·2 ≡ 16 (mod 18) → b не в 0…9 → нет решения. - a = 2: b ≡ 8·3 ≡ 24 ≡ 6 (mod 18) → b = 6. N = 210006. - a = 3: b ≡ 8·4 ≡ 32 ≡ 14 (mod 18) → нет. - a = 4: b ≡ 8·5 ≡ 40 ≡ 4 (mod 18) → b = 4. N = 410004. - a = 5: b ≡ 8·6 ≡ 48 ≡ 12 (mod 18) → нет. - a = 6: b ≡ 8·7 ≡ 56 ≡ 2 (mod 18) → b = 2. N = 610002. - a = 7: b ≡ 8·8 ≡ 64 ≡ 10 (mod 18) → нет (поскольку b должен быть 0…9). - a = 8: b ≡ 8·9 ≡ 72 ≡ 0 (mod 18) → b = 0. N = 810000. - a = 9: b ≡ 8·10 ≡ 80 ≡ 8 (mod 18) → b = 8. N = 910008. Итак, есть несколько решений: - 210006 (a=2, b=6) - 410004 (a=4, b=4) - 610002 (a=6, b=2) - 810000 (a=8, b=0) - 910008 (a=9, b=8) 5) Проверка (быстрая): - Например 210006: сумма цифр 2+1+0+0+0+6 = 9 (делится на 9), число чётное → делится на 2. Значит делится на 18, следовательно на 2, 3, 6 и 9. - Аналогично проверки для остальных: суммы цифр равны 9 или 18, число чётное — всё соответствует условию. Ответ: Можно привести любое из перечисленных чисел, например 210006. Другие варианты: 410004, 610002, 810000, 910008.