Докажите, что при любом значении переменной данное выражение принимает не отрицательное значение: 1) (a-5)² - 2(a-5)+1 2) (a-b) (a-b-8)+16

Задача: доказать неотрицательность выражений для любых значений переменных.

1. Выражение: (a - 5)² - 2(a - 5) + 1

• Обозначим t = a - 5. Тогда выражение становится t² - 2t + 1.
• Заметим квадрат полного треугольника: t² - 2t + 1 = (t - 1)².
• Подставим обратно t = a - 5: (a - 5 - 1)² = (a - 6)².
• Поскольку квадрат любого вещественного числа неотрицателен, получаем: (a - 6)² ≥ 0 для любого a.
• Вывод: данное выражение неотрицательно при любом значении a. Точнее, равна нулю при a = 6.

2. Выражение: (a - b)(a - b - 8) + 16

• Обозначим x = a - b. Тогда выражение становится x(x - 8) + 16 = x² - 8x + 16.
• Это квадрат полного треугольника: x² - 8x + 16 = (x - 4)².
• Подставим обратно x = a - b: (a - b - 4)².
• again, квадрат неотрицателен, следовательно, для любых значений a и b: (a - b)(a - b - 8) + 16 ≥ 0.
• Равенство нулю достигается при a - b = 4, т.е. при a = b + 4.

Итог:

• 1. выражение равняется (a - 6)² и потому неотрицательно для любого a; ноль при a = 6.
• 2. выражение равняется (a - b - 4)² и потому неотрицательно для любых a, b; ноль при a = b + 4.