|9x+4|<5x+8

Задача: |9x + 4| < 5x + 8

Цель: Понять решение и получить полное объяснение.

Пошаговое решение

1. Важно условие на правую часть

• Чтобы не было противоречия, для неотрицания модуля нужно, чтобы правая часть была положительной: 5x + 8 > 0.
• Решаем: 5x > -8 ⇒ x > -8/5 = -1.6.

2. Используем свойство модуля

• Для неотрицательного B и выражения |A| < B выполняется эквивалентно: -B < A < B.
• Здесь A = 9x + 4, B = 5x + 8. Следовательно:
  • -(5x + 8) < 9x + 4 < (5x + 8).

3. Решаем левую часть: -(5x + 8) < 9x + 4

• -5x - 8 < 9x + 4
• Переносим члены: -8 - 4 < 9x + 5x
• -12 < 14x
• x > -12/14 = -6/7 ≈ -0.8571.

4. Решаем правую часть: 9x + 4 < 5x + 8

• 9x - 5x < 8 - 4
• 4x < 4
• x < 1.

5. Объединяем условия

• Нужно одновременно x > -8/5 и x > -6/7 и x < 1.
• Геометрически это пересечение: x ∈ (-6/7, 1).

6. Итог

• Решение: x ∈ (-6/7, 1).
• Эквивалентно: -6/7 < x < 1 (приблизительно -0.8571 < x < 1).

Проверка (быстрая)

• Возьмём x = 0: |9·0 + 4| = 4, 5·0 + 8 = 8; 4 < 8 — верно.
• Возьмём x = -0.9 (за пределами слева): |9(-0.9) + 4| ≈ | -8.1 + 4| = 4.1, 5(-0.9) + 8 = 3.5; 4.1 < 3.5 — неверно.
• Возьмём x = 0.9: |9·0.9 + 4| ≈ |8.1 + 4| = 12.1, 5·0.9 + 8 = 12.5; 12.1 < 12.5 — верно.

Ответ: (-6/7, 1).