y равно 6x -2x квадрат найти область определения,область значения,нуши функции,координаты вершины параболы,ост симметрии параболы несколько точек,и построить параболу по точка
Рассмотрим функцию: y = 6x - 2x^2 = -2x^2 + 6x (квадратная парабола, ветви вниз).
- Область определения
- Все действительные x. Область определения: (-∞, ∞).
- Область значения (диапазон)
- Поскольку коэффициент при x^2 (-2) отрицательный, график открывается вниз и имеет максимум в вершине.
- Найдём вершину. Для y = ax^2 + bx + c вершина по x находится как x_v = -b/(2a). Здесь a = -2, b = 6, поэтому x_v = -6/(2·-2) = 1.5. Значение на вершине: y_v = f(1.5) = -2(1.5)^2 + 6(1.5) = -4.5 + 9 = 4.5.
- Вершина: (1.5, 4.5) = (3/2, 9/2).
- Ось симметрии: x = 1.5 = 3/2.
- Следовательно, область значений: (-∞, 4.5] или (-∞, 9/2].
- Пересечения с осьями
- Пересечение с осью y (x = 0): y = 0 → точка (0, 0).
- Пересечения с осью x (y = 0): -2x^2 + 6x = 0 → -2x(x - 3) = 0 → x = 0 или x = 3. Точки пересечения с осью x: (0, 0) и (3, 0).
- Несколько точек параболы
- Можно взять следующие значения x и найти y:
- x = -1: y = 6(-1) - 2(1) = -6 - 2 = -8 → (-1, -8)
- x = 0: y = 0 → (0, 0)
- x = 1: y = 6(1) - 2(1) = 4 → (1, 4)
- x = 2: y = 12 - 8 = 4 → (2, 4)
- x = 3: y = 0 → (3, 0)
- x = 4: y = 24 - 32 = -8 → (4, -8)
- Эти точки показывают симметрию вокруг оси x = 1.5 (точки (1,4) и (2,4) симметричны).
- Построение параболы по точкам (как определить формулу)
- Можно подобрать коэффициенты для параболы y = ax^2 + bx + c.
- Подставим три точки, например (0,0), (3,0), (1,4):
- из (0,0): c = 0
- из (3,0): 9a + 3b = 0 → 3a + b = 0 → b = -3a
- из (1,4): a + b + c = 4 → a + b = 4
- подставляя b = -3a: a - 3a = 4 → -2a = 4 → a = -2
- тогда b = -3(-2) = 6
- Получаем y = -2x^2 + 6x, что совпадает с исходной формулой.
- Этот метод можно использовать для построения графика по любым 3 точкам параболы.
Кратко итог:
- Область определения: (-∞, ∞)
- Область значения: (-∞, 9/2]
- Вершина: (3/2, 9/2)
- Ось симметрии: x = 3/2
- Пересечения с осями: (0,0) и (3,0) на оси x; (0,0) на оси y
- Несколько точек на графике: (-1,-8), (0,0), (1,4), (2,4), (3,0), (4,-8)
- Построение графика по точкам: можно восстановить формулу y = -2x^2 + 6x из трёх точек, как показано выше.
Обсуждение
2 сообщенияy равно x квадрат -4x -5найти область определения,область значения,нули функции,координаты вершины параболы,ост симметрии параболы и построить параболу по точкам
Рассмотрим функцию: \( y = x^2 - 4x - 5 \) (квадратная парабола, ветви вверх).
1) Область определения
- Функция определена для всех действительных чисел, поэтому область определения: \( (-\infty, \infty) \).
2) Область значения
- Поскольку парабола открыта вверх (коэффициент при \( x^2 \) положительный), её область значений будет от минимального значения до \( +\infty \).
- Найдем координаты вершины параболы. Для функции \( y = ax^2 + bx + c \) вершина по \( x \) находится по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] Здесь \( a = 1 \), \( b = -4 \): \[ x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \]
- Теперь найдем значение функции в вершине: \[ y_v = (2)^2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \]
- Таким образом, вершина: \( (2, -9) \).
- Область значения: \( [-9, +\infty) \).
3) Нули функции
- Найдем значения \( x \), при которых \( y = 0 \): \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \] Для этого используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]
- Корни находят по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим: \[ x_{1,2} = \frac{4 \pm 6}{2} \] Найдем: \[ x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1 \]
- Таким образом, нули функции: \( (5, 0) \) и \( (-1, 0) \).
4) Ось симметрии
- Ось симметрии параболы проходит через вертикальную прямую, проходящую через вершину: \[ x = 2 \]
5) Построение параболы по точкам
Теперь найдём несколько точек пары:
x = -2: \[ y = (-2)^2 - 4(-2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7 \quad \rightarrow \quad (-2, 7) \]
x = -1 (нулевая точка): \[ y = (-1)^2 - 4(-1) - 5 = 1 + 4 - 5 = 0 \quad \rightarrow \quad (-1, 0) \]
x = 0: \[ y = 0^2 - 4(0) - 5 = -5 \quad \rightarrow \quad (0, -5) \]
x = 1: \[ y = 1^2 - 4(1) - 5 = 1 - 4 - 5 = -8 \quad \rightarrow \quad (1, -8) \]
x = 2 (координаты вершины): \[ y = 2^2 - 4(2) - 5 = -9 \quad \rightarrow \quad (2, -9) \]
x = 3: \[ y = 3^2 - 4(3) - 5 = 9 - 12 - 5 = -8 \quad \rightarrow \quad (3, -8) \]
x = 4: \[ y = 4^2 - 4(4) - 5 = 16 - 16 - 5 = -5 \quad \rightarrow \quad (4, -5) \]
x = 5 (нулевая точка): \[ y = 5^2 - 4(5) - 5 = 25 - 20 - 5 = 0 \quad \rightarrow \quad (5, 0) \]
Итоговые точки для построения:
- \( (-2, 7) \)
- \( (-1, 0) \)
- \( (0, -5) \)
- \( (1, -8) \)
- \( (2, -9) \)
- \( (3, -8) \)
- \( (4, -5) \)
- \( (5, 0) \)
6) График параболы
Вы можете использовать эти точки для построения графика параболы. Убедитесь, что ваша графика включает ось симметрии \( x = 2 \) и показывает, как функция ведет себя по обе стороны от вершины.
