даны точки А, В и М точка постройте точку, симметричную точки М относительно середины отрезка AB

Задача: дано точки A, B и M. Постройте точку M′, симметричную точке M относительно середины отрезка AB.

План решения:

• Обозначим O как середину отрезка AB.
• Построим точку M′ так, чтобы O была серединой отрезка MM′ (то есть M′ — отражение M относительно точки O).

Пошаговое решение (через геометрический чертеж и прокладку):

1. Найдите середину O отрезка AB.

   • Способ 1 (классический): проведите окружности с центрами A и B и радиусом AB (одинаковым для обеих окружностей). Пусть эти две окружности пересекутся в точках P и Q. Прямая PQ является биссекторой перпендикулярной AB, то есть перпендикулярной к AB в её середине. Где эта прямая пересекает AB — там находится O, середина AB.
   • Способ 2 (альтернатива): можно использовать любую стандартную схему построения середины отрезка. Примечание: если A и B совпадают или задача предполагает degenerate кейс, середина уже известна.

2. Постройте точку M′ как отражение M через точку O.

   • Проведите прямую MO.
   • Сконфигурируйте вилку компаса на расстояние OM.
   • В центре O проведите окружность радиуса OM. Эта окружность пересекает прямую MO в двух точках: одну из них — это сама M, а другая — искомая M′, лежащая на противоположной стороне от O.
   • Обозначьте вторую точку пересечения как M′.

3. Проверка (по желанию):

   • OM′ = OM (по построению).
   • O — середина MM′ (так как OM = OM′ и M, O, M′ лежат на одной прямой MO).
   • Координатное эквивалентное равенство: если векторные координаты заданы, то M′ = A + B − M (то есть 2O − M), что соответствует симметрии относительно точки O.

Кратко можно записать формулу: если O — середина AB, то M′ является точкой, для которой O является серединой MM′. Векторно это M′ = 2O − M = (A + B) − M.

Советик на экзамене:

• Если вы хотите проверить быстро: после построения M′ убедитесь, что OM′ = OM и M, O, M′ лежат на одной прямой.
• В координатной форме запомните простую формулу: M′ = A + B − M. Это полезно для проверки решения или для проведения альтернативного расчета.