х²+4х+5>0

Задача: x^2 + 4x + 5 > 0 Цель: Понять

Решение (пошагово)

1. Приведём квадратичное выражение к более наглядному виду x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x + 2)^2 + 1

2. Анализ полученного выражения (x + 2)^2 ≥ 0 для любого real x, следовательно (x + 2)^2 + 1 ≥ 1. Таким образом минимальное значение f(x) = (x + 2)^2 + 1 равно 1, достигается в x = -2.

3. Вывод по неравенству f(x) = x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 всегда больше 0 для всех x. Следовательно неравенство x^2 + 4x + 5 > 0 верно для всех действительных x.

4. Альтернативный способ (через дискриминант) Рассмотрим f(x) = x^2 + 4x + 5. Дискриминант Δ = 4^2 - 415 = 16 - 20 = -4 < 0. Значит действительных корней нет, парабола над осью Ox (так как a = 1 > 0), значит f(x) > 0 для всех x.

Ответ

• Решение: для всех действительных чисел x.
• Множество решений: (-∞, ∞).