cos15°+√3×sin15°

Задача: cos15° + √3 · sin15°

Цель — подробное решение с объяснениями.

Вариант 1: напрямую через значения sin15° и cos15°

1. Найдём синус и косинус 15° с помощью разности углов:

• sin(15°) = sin(45° − 30°) = sin45 cos30 − cos45 sin30 = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2) = (√6 − √2)/4
• cos(15°) = cos(45° − 30°) = cos45 cos30 + sin45 sin30 = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4

2. Подставим в выражение: cos15° + √3 sin15° = (√6 + √2)/4 + √3·(√6 − √2)/4 = [√6 + √2 + (√3√6 − √3√2)]/4 = [√6 + √2 + 3√2 − √6]/4 = (4√2)/4 = √2.

Ответ: √2.

Вариант 2: компактнее через сумму углов

1. Запишем a cos x + b sin x как R cos(x − φ), где R = sqrt(a^2 + b^2), φ таков, чтобы cos φ = a/R, sin φ = b/R.

• Здесь a = 1, b = √3 → R = sqrt(1 + 3) = 2.
• cos φ = 1/2, sin φ = √3/2 → φ = 60°.

Тогда cos15° + √3 sin15° = R cos(15° − 60°) = 2 cos(−45°) = 2 cos 45° = 2 · (√2/2) = √2.

Итак, оба подхода дают ответ: √2.