В параллелограмме ABCD AD=5, AB=3, биссектриса угла А пересекает прямую ВС в точке N. Найдите длины отрезков BN и NC.

Задача: в параллелограмме ABCD заданы AD = 5, AB = 3. биссектриса угла A пересекает прямую BC в точке N. Найдите BN и NC. Решение (пошагово): 1) Пусть A на (0,0). Пусть AB лежит вдоль оси x: B = (3, 0). Пусть AD имеет длину 5 и образует с AB угол θ, тогда D = (5 cos θ, 5 sin θ). Тогда C = B + D = (3 + 5 cos θ, 5 sin θ). Вектор BC равен (5 cos θ, 5 sin θ) и по Mod BC = AD = 5. 2) Биссектриса угла BAD – это прямая через A, в направлении суммы единичных векторов вдоль AB и AD. - единичный вектор вдоль AB: e1 = (1, 0); - единичный вектор вдоль AD: e2 = (cos θ, sin θ). Следовательно направление биссектрисы: w = e1 + e2 = (1 + cos θ, sin θ). Уравнение биссектрисы: A + t w = (t(1 + cos θ), t sin θ), t ≥ 0. 3) Пересечение биссектрисы с линией BC: - линяя BC: B + s (D) = (3,0) + s (5 cos θ, 5 sin θ). - Приравниваем координаты: t(1 + cos θ) = 3 + 5 s cos θ, t sin θ = 5 s sin θ. Так как sin θ ≠ 0 (не вырождение), из второй системы получаем t = 5 s. Подставим в первую: 5 s (1 + cos θ) = 3 + 5 s cos θ ⇒ 5 s = 3 ⇒ s = 3/5. 4) BN и NC: - BN = |BC| · s = 5 · (3/5) = 3. - NC = BC длины 5 минус BN: NC = 5 − 3 = 2. Ответ: BN = 3, NC = 2. Примечание: в общем виде, если AB = a, AD = d (и угол не прямой), то при таком построении пересечение N лежит на линии BC и s = a/d, поэтому BN = a и NC = d − a. Здесь a = 3, d = 5, так что BN = 3 и NC = 2.