x³-4x²-3x+19>0 если x≥3

Решение задачи: x^3 - 4x^2 - 3x + 19 > 0 при x ≥ 3

1. Приведём выражение к удобной форме Покажем, что x^3 - 4x^2 - 3x + 19 = (x - 3)^2 (x + 2) + 1.

Обозначим A = (x - 3)^2 (x + 2).

• (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9
• A = (x^2 - 6x + 9)(x + 2) = x^3 + 2x^2 - 6x^2 - 12x + 9x + 18 = x^3 - 4x^2 - 3x + 18
• Следовательно, A + 1 = x^3 - 4x^2 - 3x + 19.

Thus indeed x^3 - 4x^2 - 3x + 19 = (x - 3)^2 (x + 2) + 1.

2. Анализ знака на отрезке x ≥ 3 При x ≥ 3:

• (x - 3)^2 ≥ 0 (квадрат неотрицателен),
• x + 2 ≥ 5 > 0.

Следовательно, произведение (x - 3)^2 (x + 2) ≥ 0, а значит x^3 - 4x^2 - 3x + 19 = (x - 3)^2 (x + 2) + 1 ≥ 0 + 1 = 1.

Поскольку сумма наверняка строго больше 0 (для x = 3 получаем 1), неравенство выполняется строго: x^3 - 4x^2 - 3x + 19 > 0 для всех x ≥ 3.

3. Ответ Все вещественные числа x, удовлетворяющие условию x ≥ 3, являются решениями неравенства.

Замечание (альтернативный подход): можно заметить, что p'(x) = 3x^2 - 8x - 3 имеет корни в x = -1/3 и x = 3, поэтому на [3, ∞) функция p(x) возрастает; p(3) = 1 > 0, значит для всех x ≥ 3 p(x) > 0. Но приведённый способ через факторизацию (x-3)^2 (x+2) + 1 нагляднее и очень простой.