Диагонали прямоугольника CDEF пересекаются в точке К. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 28 см, а периметры треугольников CDK и DEK равны 16 см и 18 см.

Решение:

Обозначим стороны прямоугольника как a = CD и b = DE. Тогда периметр прямоугольника: 2(a + b) = 28, значит a + b = 14.

В прямоугольнике diagonалы CE и DF пересекаются в центре K, и diagonals CK, DK, EK и FK равны половине диагонали. Длина диагонали равна sqrt(a^2 + b^2). Поэтому CK = DK = EK = FK = (1/2) sqrt(a^2 + b^2).

Периметры треугольников CDK и DEK:

• CDK: стороны a, CK, DK, т. е. периметр = a + CK + DK = a + sqrt(a^2 + b^2) = 16.
• DEK: стороны b, DK, EK, т. е. периметр = b + DK + EK = b + sqrt(a^2 + b^2) = 18.

Разность: (b + sqrt(a^2 + b^2)) − (a + sqrt(a^2 + b^2)) = 18 − 16 → b − a = 2, следовательно b = a + 2.

Из a + b = 14 получаем a + (a + 2) = 14 → 2a = 12 → a = 6, следовательно b = 8.

Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см. (Диагональ равна sqrt(6^2 + 8^2) = 10 см.)