x³-7x+6=0

Разбор задачи: x^3 - 7x + 6 = 0

Цель: понять решение подробно.

Шаг 1. Поиск рациональных корней Для многочлена с целыми коэффициентами часто ищут рациональные корни среди делителей свободного члена 6: ±1, ±2, ±3, ±6.

Проверяем:

• f(1) = 1^3 - 7·1 + 6 = 0 → x = 1 является корнем.

Шаг 2. Разложение на множители Разделим кубический многочлен на (x - 1). Деление можно сделать по схеме синтетического деления:

(1) | 1 0 -7 6 | 1 1 -6 ---------------- 1 1 -6 0

Получаем квадатичный множитель: x^2 + x - 6.

Так что x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x^2 + x - 6).

Шаг 3. Разложение квадратика Разложим x^2 + x - 6 на линейные множители: x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2).

Итог разложения: x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x + 3)(x - 2).

Шаг 4. Корни Из произведения равного нулю получаем корни: x = 1, x = -3, x = 2.

Проверка (быстрая):

• x = 1: 1 - 7 + 6 = 0.
• x = 2: 8 - 14 + 6 = 0.
• x = -3: -27 + 21 + 6 = 0.

Ответ: корни x ∈ {1, 2, -3}.

Комментарий (опционально, для понимания):

• Сумма корней равна коэффициенту при x^2 с обратным знаком: 0, что согласуется с 1 + 2 + (-3) = 0.
• Произведение корней равно -с = -6, что тоже верно: 1·2·(-3) = -6.