Разбор задачи: x^3 - 7x + 6 = 0
Цель: понять решение подробно.
Шаг 1. Поиск рациональных корней
Для многочлена с целыми коэффициентами часто ищут рациональные корни среди делителей свободного члена 6: ±1, ±2, ±3, ±6.
Проверяем:
- f(1) = 1^3 - 7·1 + 6 = 0 → x = 1 является корнем.
Шаг 2. Разложение на множители
Разделим кубический многочлен на (x - 1). Деление можно сделать по схеме синтетического деления:
(1) | 1 0 -7 6
| 1 1 -6
----------------
1 1 -6 0
Получаем квадатичный множитель: x^2 + x - 6.
Так что x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x^2 + x - 6).
Шаг 3. Разложение квадратика
Разложим x^2 + x - 6 на линейные множители:
x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2).
Итог разложения:
x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x + 3)(x - 2).
Шаг 4. Корни
Из произведения равного нулю получаем корни:
x = 1, x = -3, x = 2.
Проверка (быстрая):
- x = 1: 1 - 7 + 6 = 0.
- x = 2: 8 - 14 + 6 = 0.
- x = -3: -27 + 21 + 6 = 0.
Ответ: корни x ∈ {1, 2, -3}.
Комментарий (опционально, для понимания):
- Сумма корней равна коэффициенту при x^2 с обратным знаком: 0, что согласуется с 1 + 2 + (-3) = 0.
- Произведение корней равно -с = -6, что тоже верно: 1·2·(-3) = -6.
