" Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок…
" Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень, увеличить количество камней в первой куче в два раза или увеличить количество камней во второй куче в три раза. Например, пусть в одной куче 6 камней, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (7, 9), (12, 9), (6, 10), (6, 27). Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 246. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 246 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 16 камней, во второй куче — S камней, 1 ≤ S ≤ 230. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, т.е не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника. Найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: — Петя не может выиграть за один ход; — Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков."
Круто, давай разбираться вместе. Твоя цифра 75 не подходит. В задаче нужно найти два значения S и записать их подряд без разделителей, в порядке возрастания. Правильный ответ — 7176 (S = 71 и S = 76).
Подсказка (чтобы самому прийти к ответу):
- Рассмотри стартовую позицию (16, S). Петя не должен выигрывать за один ход, значит S не слишком большой. Например, если Петя сможет выиграть за один ход, то это не тот S, который нам нужен.
- Подумай о двух вариантах первого хода Пети, чтобы затем гарантировано выиграть на втором ходе путём утроения второй кучки:
- Первый ход Пети сделать так, чтобы первая куча стала 17 (то есть ход “прибавить 1 к первой куче”): получаем (17, S).
- Или сделать так, чтобы первая куча стала 32 (ход “увеличить первую кучу в два раза”): получаем (32, S).
- (Также возможен ход по умножению второй кучки, но тут важно понять, что Ваня не должен выиграть на своём ходе, прежде чем Пети удастся завершить.)
- Чтобы Петя мог выиграть на втором ходе именно путём утроения второй кучки, после хода Вани должны соблюдаться три неравенства, которые обеспечивают выигрыш на следующем ходе:
- после любого хода Вани сумма всё ещё меньше 246, и затем Петя может выиграть утроив вторую кучку. Неравенства для завершения второй ходом путём тройного увеличения второй кучки:
- a + 1 + 3S >= 246
- 2a + 3S >= 246
- a + 9S >= 246 где a — новая величина первой кучки после первого хода Пети (17 или 32).
- Также нужно учесть, что Ваня не может выиграть на своём ходе, например если он тройной второй кучки, сумма после этого хода не должна уже достигать 246:
- a + 3S < 246 (то есть S < (246 − a) / 3).
- Решая эти условия по двум возможным значениям a = 32 и a = 17, получаем:
- Для a = 32: S должно быть 71.
- Для a = 17: S должно быть 76. Таким образом получаются два значения S: 71 и 76, и ответ записывается как 7176.
Если хочешь, могу подробно пройти каждый шаг расчётов и проверить варианты по каждому ходу Вани.
Пожалуйста, оцените мой ответ лайком или дизлайком.
