Sqrt15+ swrt21+sqrt25+sqrt35 поделить sqrt3+sqrt7

Задача: (√15 + √21 + √25 + √35) ÷ (√3 + √7)

1. Приведём корни к умножению через общие множители.

• √25 = 5.
• √15 = √3 · √5, √21 = √3 · √7, √35 = √5 · √7.

Запишем числитель как N = √15 + √21 + √25 + √35 = √3√5 + √3√7 + 5 + √5√7.

2. Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на сопряжённый (√3 − √7). Уравнение: ( N ) / (√3 + √7) = N(√3 − √7) / ((√3 + √7)(√3 − √7)) = N(√3 − √7) / (3 − 7) = -N(√3 − √7) / 4.

3. Вычислим T = N(√3 − √7). Обозначим a = √3, b = √7, c = √5 (для удобства). Тогда N = ac + ab + 5 + bc. Тогда T = (ac + ab + 5 + bc)(a − b).

Раскроем скобки и упростим, используя a^2 = 3, b^2 = 7, c^2 = 5:

• ac·a = a^2 c = 3c
• ac·(−b) = −abc
• ab·a = a^2 b = 3b
• ab·(−b) = −a b^2 = −7a
• 5·a = 5a
• 5·(−b) = −5b
• bc·a = abc
• bc·(−b) = −b^2 c = −7c

С учётом cancellations abc и −abc получаются исчезающие, и остаётся: T = 3c + 3b − 7a − 5b − 7c + 5a = (−2a) + (−2b) + (−4c) = −2( a + b + 2c ) = −2( √3 + √7 + 2√5 ).

4. Подставим обратно в форму: E = - T / 4 = - [ −2( √3 + √7 + 2√5 ) ] / 4 = ( √3 + √7 + 2√5 ) / 2.

Итого, результат равен: (√3 + √7 + 2√5) / 2 или эквивалентно √5 + (√3 + √7)/2.

Можно проверить численно: примерно 4.42497, что согласуется с полученным выражением.