Найдите стороны треугольника АВС,если уголА-45°,уголС-30°, а высота АД равна 3 см

Цель: понять решение. Дано: угол A = 45°, угол C = 30°, высота AD к стороне BC равна 3 см. Обозначим стороны треугольника ABC так же, как в геометрии: a = BC против угла A, b = CA против угла B, c = AB против угла C. Тогда углы: A = 45°, C = 30°, следовательно B = 180° − 45° − 30° = 105°. 1) Найдем стороны b и c через высоту AD. Высота AD к BC равна 3. Рассмотрим треугольник ABD (прямой угол в D). В этом треугольнике AB = c — гипотенуза, угол ABD равен B, поэтому: AD = AB * sin(B) = c * sin(105°). Отсюда c = AD / sin(105°) = 3 / sin(105°). sin(105°) = sin(180° − 105°) = sin(75°) = (√6 + √2)/4. Тогда c = 3 / [ (√6 + √2)/4 ] = 12 / (√6 + √2). Рационализуем знаменатель: 12 / (√6 + √2) = 3(√6 − √2). Итак, c = AB = 3(√6 − √2) см ≈ 3.105 см. Рассмотрим треугольник ACD (так же прямой угол в D). Здесь AC = b — гипотенуза, угол ACD равен C, поэтому: AD = AC * sin(C) = b * sin(30°). sin(30°) = 1/2, значит b = AD / sin(30°) = 3 / (1/2) = 6. Итак, b = AC = 6 см. 2) Найдем оставшуюся сторону a = BC с помощью закона синусов. Из закона синусов: a / sin(A) = b / sin(B). Следовательно: a = b * sin(A) / sin(B). Подставим значения: sin(A) = sin(45°) = √2/2, sin(B) = sin(105°) = (√6 + √2)/4, b = 6. a = 6 * (√2/2) / [ (√6 + √2)/4 ] = (12√2) / (√6 + √2). Рационализуем: a = 12√2(√6 − √2) / ((√6+√2)(√6−√2)) = 12√2(√6 − √2) / (6 − 2) = 3√2(√6 − √2) = 3(√12 − √4) = 3(2√3 − 2) = 6(√3 − 1) см ≈ 4.392 см. Итак, стороны треугольника ABC: - AB = c = 3(√6 − √2) см ≈ 3.105 см - AC = b = 6 см - BC = a = 6(√3 − 1) см ≈ 4.392 см Проверка: высота AD = 3 см удовлетворяется как AD = b sin C = 6 · sin 30° = 3 cm и как AD = c sin B = 3(√6 − √2) · sin 105° = 3.