Что такое дискриминат

Дискриминант (дискриминант полинома) — это величина, рассчитываемая по коэффициентам полинома, которая сообщает о количестве и характере его корней без явного их нахождения.

Пример для квадратичного уравнения

• Пусть ax^2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
• Дискриминант: D = b^2 − 4ac.
• Значения и что они означают:
  • D > 0: два разных действительных корня: x1, x2 = (-b ± sqrt(D)) / (2a)
  • D = 0: один действительный корень с кратностью 2: x = -b/(2a)
  • D < 0: два комплексных корня (сопряжённые): x = (-b ± i sqrt(-D)) / (2a)

Для более высоких степеней

• Для кубического: P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d. Дискриминант Δ = 18abcd − 4b^3d + b^2c^2 − 4ac^3 − 27a^2d^2. Интерпретация:
  • Δ > 0: три различных вещественных корня
  • Δ = 0: есть кратный корень
  • Δ < 0: один вещественный и два комплексно сопряжённых корня
• Для произвольного полинома степени n дискриминант Δ(P) можно записать как Δ = a_n^{2n−2} ∏_{i<j} (α_i − α_j)^2, где α_i — корни полинома. Он равен нулю тогда, когда в полиноме есть повторяющийся корень.

Хотите пример с конкретным полином другой степени или объяснение более общего случая?