Задача: каждый ученик 9 класса посетил театр ровно два раза, просмотрел А (25 просмотров), В (12 просмотров) и С (23 просмотра). Сколько учеников в классе? Решение через множества.
Пусть A, B, C — множества учеников, которые смотрели соответствующие выступления.
Даны: |A| = 25, |B| = 12, |C| = 23.
Так как каждый ученик посмотрел ровно две постановки, каждый ученик относится ровно к одной из пар пересечений: AB, AC или BC. Никаких троек пересечений (A∩B∩C) быть не может.
Обозначим:
- x = |A ∩ B|
- y = |A ∩ C|
- z = |B ∩ C|
Тогда по данным:
- Из A: x + y = 25
- Из B: x + z = 12
- Из C: y + z = 23
Решим систему:
- x + y = 25
- x + z = 12
- y + z = 23
Вычтем (2) из (1): y − z = 13.
Сложим это с (3): (y − z) + (y + z) = 13 + 23 ⇒ 2y = 36 ⇒ y = 18.
Тогда z = 23 − y = 5.
Из (2): x = 12 − z = 7.
Итак, x = 7, y = 18, z = 5. Общее число учеников:
N = x + y + z = 7 + 18 + 5 = 30.
Дополнительно проверка: 2N = 60, что равно сумме посещений A + B + C = 25 + 12 + 23 = 60. Всё согласуется.
Ответ: в классе 30 учеников.
