Задача: В треугольнике ABC точку K взяли на луче AB за пределами треугольника (то есть A, B, K лежат на одной прямой и B находится между A и K), а точку M взяли на стороне BC (то есть B, M, C коллинеарны и M лежит между B и C). Нужно доказать, что прямая AC пересекает прямую KM, но не пересекает отрезок KM.
Решение. Чтобы задача была нагляднее в школе, можно воспользоваться аффинным преобразованием и привести треугольник к удобной координатной форме. Пусть после преобразования A = (0,0), B = (1,0), C = (0,1). Тогда AB лежит на оси x, BC — от (1,0) к (0,1).
- Точка K лежит на продолжении AB за пределами треугольника, значит K = (t, 0) с t > 1.
- Точка M лежит на стороне BC, значит M = (1 − s, s) с 0 < s < 1.
Линия AC — это прямая x = 0.
Линия KM задаётся через K и M. Пусть мы идём по параметру λ от K к M: P(λ) = K + λ(M − K) = (t + λ((1 − s) − t), λs). При λ = 0 получаем K, при λ = 1 получаем M.
Чтобы найти пересечение с AC, найдём точку с x = 0:
t + λ((1 − s) − t) = 0 → λ = t / (t − 1 + s).
Теперь посмотрим на знак и величину λ. Условия t > 1 и 0 < s < 1 дают 0 < t − 1 + s < t, поэтому знаменатель меньше чем t, а числитель больше чем знаменатель, значит λ > 1.
Следовательно, точка пересечения с AC лежит на прямой KM за пределами отрезка KM, то есть после M по направлению от K через M к точке X = P(λ) (λ > 1). При этом AC пересекается с прямой KM (дополнительная проверка: x = 0 получаемая точка существует).
Итак, прямая KM пересекает прямую AC, но сам отрезок KM этой точки пересечения не содержит. Это и требовалось доказать.
