Дан квадрат ABCD. На продолжении стороны AD за точку D отмечена тока M так, что MD = DB, найдите угол DMB

Задача: дан квадрат ABCD. На продолжении стороны AD за D взят M так, что MD = DB. Найти угол DMB.

Решение (пошагово, понятно для средней школы)

1. Введём удобную систему координат.

• Пусть сторона квадрата равна 1. Обозначим A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1).

2. Расположение точки M.

• AD идёт по прямой x = 0, за D точка M лежит над D, значит M имеет вид M(0, y) с y > 1.
• Длину DB найдём: DB = расстояние от D(0,1) до B(1,0) = √[(1-0)^2 + (0-1)^2] = √2.
• По условию MD = DB, значит MD = √2. Расстояние от M до D равно |y − 1|, а так как y > 1, получаем y − 1 = √2 → y = 1 + √2.
• Следовательно, M = (0, 1+√2).

3. Векторы для угла DMB.

• Вектор MD = D − M = (0,1) − (0,1+√2) = (0, −√2).
• Вектор MB = B − M = (1,0) − (0,1+√2) = (1, −1−√2).

4. Косинус угла между векторами MD и MB.

• Косинус угла ∠DMB равен cos ∠DMB = (MD · MB) / (|MD| |MB|).
• Скалярное произведение: MD · MB = (0)(1) + (−√2)(−1−√2) = √2(1+√2) = √2 + 2.
• Нормы: |MD| = √2. |MB| = √[1^2 + (−1−√2)^2] = √(1 + (3 + 2√2)) = √(4 + 2√2).
• Значит cos ∠DMB = (√2 + 2) / (√2 · √(4 + 2√2)).

5. Упрощение и идентификация угла.

• Возьмём квадрат косинуса: cos^2 ∠DMB = ( (√2 + 2)^2 ) / ( 2 (4 + 2√2) ) = (6 + 4√2) / (8 + 4√2) = (3 + 2√2) / (4 + 2√2).
• Умножим числитель и знаменатель на (4 − 2√2): cos^2 ∠DMB = (4 + 2√2) / 8 = (2 + √2) / 4.
• Следовательно cos ∠DMB = √( (2 + √2) / 4 ) = √(2 + √2) / 2.
• Это значение равно cos 22.5° (cos 22.5° = √(2 + √2) / 2).

Итак, ∠DMB = 22.5° (или π/8 радиан).

Ответ: угол DMB равен 22,5°.