Дан квадрат ABCD. На продолжении стороны AD за точку D отмечена тока M так, что MD = DB, найдите угол DMB

Задача: дан квадрат ABCD. На продолжении стороны AD за D взят M так, что MD = DB. Найти угол DMB. Решение (пошагово, понятно для средней школы) 1) Введём удобную систему координат. - Пусть сторона квадрата равна 1. Обозначим A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1). 2) Расположение точки M. - AD идёт по прямой x = 0, за D точка M лежит над D, значит M имеет вид M(0, y) с y > 1. - Длину DB найдём: DB = расстояние от D(0,1) до B(1,0) = √[(1-0)^2 + (0-1)^2] = √2. - По условию MD = DB, значит MD = √2. Расстояние от M до D равно |y − 1|, а так как y > 1, получаем y − 1 = √2 → y = 1 + √2. - Следовательно, M = (0, 1+√2). 3) Векторы для угла DMB. - Вектор MD = D − M = (0,1) − (0,1+√2) = (0, −√2). - Вектор MB = B − M = (1,0) − (0,1+√2) = (1, −1−√2). 4) Косинус угла между векторами MD и MB. - Косинус угла ∠DMB равен cos ∠DMB = (MD · MB) / (|MD| |MB|). - Скалярное произведение: MD · MB = (0)(1) + (−√2)(−1−√2) = √2(1+√2) = √2 + 2. - Нормы: |MD| = √2. |MB| = √[1^2 + (−1−√2)^2] = √(1 + (3 + 2√2)) = √(4 + 2√2). - Значит cos ∠DMB = (√2 + 2) / (√2 · √(4 + 2√2)). 5) Упрощение и идентификация угла. - Возьмём квадрат косинуса: cos^2 ∠DMB = ( (√2 + 2)^2 ) / ( 2 (4 + 2√2) ) = (6 + 4√2) / (8 + 4√2) = (3 + 2√2) / (4 + 2√2). - Умножим числитель и знаменатель на (4 − 2√2): cos^2 ∠DMB = (4 + 2√2) / 8 = (2 + √2) / 4. - Следовательно cos ∠DMB = √( (2 + √2) / 4 ) = √(2 + √2) / 2. - Это значение равно cos 22.5° (cos 22.5° = √(2 + √2) / 2). Итак, ∠DMB = 22.5° (или π/8 радиан). Ответ: угол DMB равен 22,5°.