Точка С лежит на отрезке АВ, причем АВ: BC = 4: 3. Отрезок CD, равный 12 см, параллелен плоскости а, проходящей через точку В. Докажите, что прямая AD пересекает плоскость а в…

Решение (пошагово, без отвлечений на лишние данные)

Имеем: точка C лежит на отрезке AB и AB:BC = 4:3, то есть BC = (3/4)AB. Точка CD длиной 12 см параллельна плоскости α, которая проходит через точку B. Необходимо доказать, что прямая AD пересекает плоскость α в точке E, и найти BE.

1. Ввод удобной системы координат

• Пусть плоскость α задаётся как z = 0, а точка B лежит на ней, поэтому B = 0.
• Пусть вектор A = вектор-основа от B к A, т.е. A = (a1, a2, a3). Тогда точка C, лежащая на отрезке AB и такая, что BC:AB = 3:4, находится на той же прямой и имеет координаты C = (3/4)A = (3a1/4, 3a2/4, 3a3/4).

2. Задаём D через C

• Отрезок CD параллелен плоскости α, значит вектор DC лежит в плоскости α, то есть проекция CD на координатах z изменяется только до z_C, а сам вектор w = D − C имеет z-компоненту равную 0.
• Запишем D как D = C + w, где w лежит в плоскости α (z-компонента w_z = 0) и длина CD равна 12 см, значит |w| = 12.

3. Уравнение прямой AD и точка пересечения с α

• Рассмотрим всю бесконечную прямую AD: любая точка на ней имеет вид P(t) = A + t (D − A).
• Её координаты по z: z(t) = z_A + t (z_D − z_A). Учитывая, что z_A = a3 и z_C = (3/4) a3, а z_D = z_C = (3/4) a3, имеем z_D − z_A = (3/4 a3) − a3 = −(1/4) a3. Когда z(t) = 0 (пересечение плоскости α), получаем: a3 + t (−1/4 a3) = 0 ⇒ t = 4.
• Значит точка пересечения E имеет координаты E = P(4) = A + 4 (D − A) = 4D − 3A.

4. Выражение E через C и w

• Так как D = C + w и C = (3/4)A, получаем: E = 4(C + w) − 3A = 4(3/4 A + w) − 3A = 3A + 4w − 3A = 4w.
• Так как B = 0, вектор BE совпадает с E, то длина BE равна |E| = |4w| = 4|w|.

5. Подстановка длины CD

• По условию, |w| = |CD| = 12 см. Следовательно: BE = 4 · 12 см = 48 см.

Ответ

• Прямая AD пересекает плоскость α в точке E (существование точки подтверждается тем, что z_A ≠ z_D, и линейное пересечение есть для любой прямой, не параллельной α).
• Отрезок BE равен 48 см.