В прямоугольный треугольник АВС (∠C = 90°) с катетами а и в вписан квадрат CDEF, точка Е лежит на гипотенузе АВ. Найти сторону квадрата и длину биссектрисы треугольника АВС, проведенной из вершины прямого угла.

Задача в координатах удобна, пусть AC = a, BC = b, AB – гипотенуза. 1) Опора: C = (0,0), A = (a,0), B = (0,b). Квадрат CDEF имеет вершины C(0,0), D(s,0) на CA, F(0,s) на CB, E(s,s) на AB. Так как E лежит на AB, координаты E должны удовлетворять уравнению прямой AB. 2) Уравнение AB: x/a + y/b = 1. Подстановка E(s,s) дает: s/a + s/b = 1 -> s(1/a + 1/b) = 1 -> s = ab/(a+b). Значит сторона квадрата: - s = ab/(a+b). 3) Длину биссектрисы треугольника ABC из вершины C (угол C = 90°) на гипотенузу AB используем формулу длины биссектрисы: l_c = 2ab cos(C/2) / (a + b). Для C = 90°, cos(C/2) = cos(45°) = √2/2. Итого: l_c = 2ab(√2/2) / (a + b) = (√2) ab / (a + b). 4) Связь между l_c и стороной квадрата: l_c = √2 · ab/(a+b) = √2 · s. Ответ: - Сторона вписанного квадрата: s = ab/(a+b). - Длина биссектрисы из вершины прямого угла: l = (√2) ab/(a+b) = √2 · s. Примечание: длина биссектрисы равна диагонали квадрата CDEF, т.е. l = s√2.