Дано прямоугольный треугольник ABC (правый угол в B). Пусть AB = a (длина одного катета), BC = c (длина другого катета), а гипотенуза AC = h = sqrt(a^2 + c^2).
Точкой пересечения медиан является центр масс треугольника, т.е. центр тяжести G, координаты которого:
G = ((x_A + x_B + x_C)/3, (y_A + y_B + y_C)/3).
Задача говорит: расстояние от G до одного катета равно 5, а до гипотенузы равно 4. Пусть катет AB лежит на оси y = 0, тогда расстояние от G до AB равно y_G = c/3. Значит:
- расстояние до одного катета = c/3 = 5 или a/3 = 5. Возьмём явным образом c/3 = 5 (потом можно учесть симметрию, получим тот же результат).
Тогда c = 15.
Координаты вершин можно взять как B(0,0), A(a,0), C(0,c). Тогда координаты G: G(a/3, c/3) = (a/3, 15/3) = (a/3, 5).
Расстояние от G до гипотенузы AC нужно равно 4. Уравнение прямой AC через A(a,0) и C(0,c) = (0,15):
LC AC: c x + a y - a c = 0, то есть 15 x + a y - 15 a = 0.
Расстояние от точки G(a/3, 5) до этой прямой:
D = |15*(a/3) + a*5 - 15a| / sqrt(15^2 + a^2)
= |5a + 5a - 15a| / sqrt(a^2 + 225)
= |(-5a)| / sqrt(a^2 + 225)
= 5a / sqrt(a^2 + 225).
Но по условию D = 4. Следовательно:
5a / sqrt(a^2 + 225) = 4
=> 25 a^2 = 16 (a^2 + 225)
=> 25 a^2 = 16 a^2 + 3600
=> 9 a^2 = 3600
=> a^2 = 400
=> a = 20 (положительное).
Так получаем стороны: a = 20, c = 15, h = sqrt(20^2 + 15^2) = sqrt(400 + 225) = 25. Это пропорции 15-20-25.
Теперь радиус вписанной окружности r в прямоугольном треугольнике можно найти как:
- r = (a + c - h)/2, или
- r = A / s, где A — площадь, s — полусумма длин сторон.
Выполним через r = (a + c - h)/2:
r = (20 + 15 - 25) / 2 = (10) / 2 = 5.
Ответ: радиус вписанной окружности равен 5. (Задача не требует другой конфигурации — расчёты эквивалентны при обмене обозначениями катетов.)
