Что такое НОД

НОД (наибольший общий делитель) чисел a и b — это наибольшее положительное число d, которое делит и a, и b без остатка.

Примеры:

• gcd(48, 18) = 6
• gcd(100, 25) = 25

Как вычислять:

• Евклидов алгоритм: gcd(a,b) = gcd(b, a mod b), повторять до остатка 0; последний ненулевой остаток — НОД. Пример: gcd(48, 18) → 48 mod 18 = 12; gcd(18,12) → 18 mod 12 = 6; gcd(12,6) → 0, значит gcd = 6.
• Есть и факторизационный метод, но он менее эффективен для больших чисел.

Свойства:

• Коммутативность и ассоциативность: gcd(a,b) = gcd(b,a); gcd(a,b,c) = gcd(gcd(a,b), c).
• gcd(a,0) = |a|, gcd(0,0) обычно принимают за 0 (или как неопределённость в некоторых контекстах).
• gcd(a,b) делит любые линейные комбинации ax + by (Беёзут: существуют x,y такие, что ax+by = gcd(a,b)).

Применения:

• Упрощение дробей.
• Решение диофовых уравнений и других задач в теории чисел.
• Связь с НОК: a·b = gcd(a,b) · lcm(a,b) (для ненулевых a,b).

Расширение:

• Можно определить НОД и для нескольких чисел или для полиномов по аналогичным правилам.

Если хотите, могу показать расчёт НОД для ваших конкретных чисел или объяснить алгоритм на примере.