36. Решите уравнение (2х + 3)V3х - 12 = 0. 37. Решите уравнение V8 - 4х(3х - 7) = 0.

Задачи по алгебре (9 класс). Поясню пошагово и дам итоговые решения.

36. Решите уравнение (2x + 3)√(3x) - 12 = 0

• Поскольку внутри корня стоит 3x, требуется x ≥ 0. Введём t = √(3x) (t ≥ 0). Тогда 3x = t^2 и x = t^2/3.
• Подставим в уравнение: (2x + 3)√(3x) - 12 = 0 ⇒ ([2(t^2/3) + 3]) t - 12 = 0 ⇒ ((2t^2)/3 + 3) t = 12 ⇒ (2t^3)/3 + 3t = 12 ⇒ 2t^3 + 9t - 36 = 0.
• Это одночленный куб: f(t) = 2t^3 + 9t - 36. Его производная f'(t) = 6t^2 + 9 > 0 для всех t, значит функция строго возрастает и уравнение имеет ровно один корень t ≥ 0.
• Решение численно (метод Ньютона). Начальное приближение t0 = 2: f(2) = 2·8 + 9·2 - 36 = -2. f'(2) = 6·4 + 9 = 33. t1 = t0 - f(t0)/f'(t0) ≈ 2 - (-2)/33 ≈ 2.060606. Вычислив далее, получаем приближённое значение t ≈ 2.0593.
• Возвращаемся к x: x = t^2/3 ≈ (2.0593^2)/3 ≈ 4.2408/3 ≈ 1.4136.
• Итог: x ≈ 1.414 (до трёх знаков после запятой).

37. Решите уравнение √8 - 4x(3x - 7) = 0

• Выражаемся так: √8 - 4x(3x - 7) = 0 ⇒ 4x(3x - 7) = √8.
• Так как √8 = 2√2, делим на 4: x(3x - 7) = √8/4 = (2√2)/4 = √2/2.
• Раскрываем скобки: 3x^2 - 7x = √2/2 Приводим к стандартной квадратной форме: 3x^2 - 7x - √2/2 = 0.
• Дискриминант Δ = (-7)^2 - 4·3·(-√2/2) = 49 + 6√2.
• Корни квадр. уравнения: x = [7 ± √(49 + 6√2)] / 6.
• Приближённые значения: √(49 + 6√2) ≈ √(57.485) ≈ 7.585. Точки: x1 ≈ (7 + 7.585)/6 ≈ 2.431, x2 ≈ (7 - 7.585)/6 ≈ -0.098.
• Итог: решения x ≈ 2.431 и x ≈ -0.098 (оба являются решениями). Точная запись: x = [7 ± √(49 + 6√2)]/6.