почему объем пирамиды равен 1/3*Sосн*h, докажи это

Вот подробное доказательство того, почему объем пирамиды равен (1/3) · Sосн · h.

Определения

• Пусть у пирамиды основание имеет площадь Sосн (S_base), переходящую в любую форму многоугольника.
• Осью пирамиды считается перпендикулярное расстояние от вершины A до плоскости основания; это расстояние равно h (то есть высота пирамиды).

1. Свойство поперечных сечений

• Любое сечение пирамиды, сделанное плоскостью, параллельной основанию, является рисунком основания и поэтому подобно ему.
• Пусть сечение находится на расстоянии x от вершины A (то есть на высоте x над вершиной, или, эквивалентно, на расстоянии h − x от основания).
• Масштаб подобия между сечением и основанием равен отношению линейных размеров: r = x/h.
• Следовательно, площадь этого поперечного сечения равна S(x) = Sосн · r^2 = Sосн · (x/h)^2.

2. Связь объема с поперечными сечениями

• Объем можно представить как сумму маленьких слоев толщиной dx: dV = (площадь поперечного сечения на этой высоте) · dx.
• Интегрируем по высоте от вершины (x = 0) до основания (x = h): V = ∫(от 0 до h) S(x) dx = ∫(0 до h) Sосн · (x/h)^2 dx.

3. Вычисление интеграла

• Вынесем константы: V = Sосн ∫(0 до h) (x^2 / h^2) dx = (Sосн / h^2) ∫(0 до h) x^2 dx.
• ∫ x^2 dx = x^3/3, поэтому ∫(0 до h) x^2 dx = h^3 / 3.
• Подстановка дает: V = (Sосн / h^2) · (h^3 / 3) = (1/3) · Sосн · h.

4. Вывод

• Таким образом, объем пирамиды V равен (1/3) · Sосн · h, и это действительно справедливо независимо от формы основания (любая фигура основания) и независимо от того, прямая ли высота или косая (важно именно кратчайшее расстояние от вершины до плоскости основания).

Дополнительная интуиция (без калькулятора)

• Площадь поперечного сечения растет квадратично по мере приближения к основанию: в вершине сечение площадью 0, у основания — Sосн, причём изменение площади пропорционально квадрату расстояния от вершины. Интегрирование квадратичной зависимости даёт фактор 1/3, что и объясняет отношение объема пирамиды к произведению основания на высоту.

Пример для наглядности

• Пусть основание пирамиды — квадрат размером 2 на 2, то есть Sосн = 4, и высота h = 3. Тогда V = (1/3) · 4 · 3 = 4.
• Это совпадает с общим правилом: объем пирамиды равен одной третьей части объема прямоугольного параллелепипеда с тем же основанием и той же высотой (пользуясь похожими соотношениями по поперечным сечениям).

Итог

• В любом случае для пирамиды с основанием площади Sосн и высотой h объем равен V = (1/3) Sосн h. Это следует из того, что поперечные сечения параллельны основанию подобны ему, а их площадь возрастает квадратично по высоте, что и приводит к коэффициенту 1/3 при интегрировании по высоте.