Отрезок AC и BD точка пересечение деля ься попалам . докажите , что треугольник ABC=треугольнику CDA

Итак, дано: диагонали AC и BD пересекаются в точке O так, что O является серединой обоих отрезков AC и BD (AO = OC и BO = OD). Нужно доказать, что треугольники ABC и CDA конгруэнтны. Доказательство 1) Показать, что ABCD — параллелограмм. - Рассмотрим треугольники AOB и COD. Из условия AO = OC и BO = OD, а также того, что углы AOB и COD являются вертикальными ( AO и CO лежат на одной прямой, BO и DO на одной прямой ), треугольники AOB и COD равны по признакaм SAS. - Из равенства соответствующих сторон и равенства угла получаем, что пары углов ∠ABO и ∠CDO тоже равны. - Поскольку BO и DO лежат на одной прямой, равенство углов ∠ABO и ∠CDO означает, что AB ∥ CD. 2) Показать вторую пару параллельных сторон. - Аналогично рассматриваем треугольники AOD и COB. AO = OC и DO = OB, а углы ∠AOD и ∠COB вертикальные. Значит треугольники AOD и COB равны по SAS. - Отсюда получаем, что ∠ADO = ∠OBC. Так как DO и OB лежат на одной прямой, это дает BC ∥ AD. Следовательно, противоположные стороны ABCD параллельны: AB ∥ CD и BC ∥ AD. Значит ABCD — параллелограмм. 3) В параллелограмме противоположные стороны равны. - Из свойств параллелограмма имеем AB = CD и BC = AD. 4) Рассмотрим треугольники ABC и CDA. - Общая сторона: AC. - Соответствующие стороны: AB = CD и BC = AD. - Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по признаку SSS (или по SAS, если смотреть пару сторон и входящий между ними угол, который равен по общности диагонали). 5) Вывод. - Треугольники ABC и CDA конгруэнтны. Следовательно соответствующие стороны и углы равны, например AB = CD, BC = AD, AC общая, и углы ∠ABC = ∠CDA, ∠ACB = ∠CAD и т.д. Итог: из условий о bisecting диагоналей следует, что ABCD — параллелограмм, и тогда треугольники ABC и CDA конгруэнтны.