X³-7x+6=0

Задача: x^3 - 7x + 6 = 0 Цель: Понять. Дано подробное решение с объяснениями. 1) Поиск возможных корней - По теореме рациональных корней для многочлена с целыми коэффициентами, корень должен быть делителем свободного члена (6) делителем коэффициента при x^3 (1). Поэтому возможные корни: ±1, ±2, ±3, ±6. 2) Проверка простых корней - Подставим и проверим поочередно: - f(1) = 1^3 - 7·1 + 6 = 1 - 7 + 6 = 0 → x = 1 является корнем. - Другие проверки можно сделать, но одной достаточно, чтобы продолжить разложение. 3) Деление многочлена на (x − 1) - Разделим x^3 - 7x + 6 на (x − 1). Можно сделать синтетическое деление: - Коэффициенты: 1 (за x^3), 0 (за x^2), -7 (за x), 6 (постоянная). - Применяем синтетическое деление с корнем 1: - Вниз пишем 1. - 0 + 1 = 1 - -7 + 1 = -6 - 6 + (-6) = 0 - Получаем остаток 0 и частное: x^2 + x - 6. 4) Разложение квадрата на множители - Теперь имеем: x^3 - 7x + 6 = (x − 1)(x^2 + x − 6). - Разложим квадрат: x^2 + x − 6 = (x + 3)(x − 2) (проверка: (x+3)(x−2) = x^2 + x − 6). 5) Полное разложение и корни - Многочлен разложен как: (x − 1)(x + 3)(x − 2) = 0. - Следовательно, корни уравнения: - x = 1 - x = −3 - x = 2 6) Быстрая проверка - f(2) = 8 − 14 + 6 = 0 - f(−3) = −27 + 21 + 6 = 0 - f(1) уже проверяли: 0 Дополнительные заметки (для понимания): - По правилу Вьета сумма корней для x^3 + ax^2 + bx + c равна −a. В нашем случае a = 0, значит сумма корней равна 0: 1 + 2 + (−3) = 0, что согласуется с найденными корнями. - Все корни действительные и кратности здесь равны 1. Ответ: x ∈ {1, 2, −3} (в произвольном порядке).