x³-7x+6=0

Задача: x^3 - 7x + 6 = 0

Цель: Понять. Дано подробное решение с объяснениями.

1. Поиск возможных корней

• По теореме рациональных корней для многочлена с целыми коэффициентами, корень должен быть делителем свободного члена (6) делителем коэффициента при x^3 (1). Поэтому возможные корни: ±1, ±2, ±3, ±6.

2. Проверка простых корней

• Подставим и проверим поочередно:
  • f(1) = 1^3 - 7·1 + 6 = 1 - 7 + 6 = 0 → x = 1 является корнем.
  • Другие проверки можно сделать, но одной достаточно, чтобы продолжить разложение.

3. Деление многочлена на (x − 1)

• Разделим x^3 - 7x + 6 на (x − 1). Можно сделать синтетическое деление:
  • Коэффициенты: 1 (за x^3), 0 (за x^2), -7 (за x), 6 (постоянная).
  • Применяем синтетическое деление с корнем 1:
    • Вниз пишем 1.
    • 0 + 1 = 1
    • -7 + 1 = -6
    • 6 + (-6) = 0
  • Получаем остаток 0 и частное: x^2 + x - 6.

4. Разложение квадрата на множители

• Теперь имеем: x^3 - 7x + 6 = (x − 1)(x^2 + x − 6).
• Разложим квадрат: x^2 + x − 6 = (x + 3)(x − 2) (проверка: (x+3)(x−2) = x^2 + x − 6).

5. Полное разложение и корни

• Многочлен разложен как: (x − 1)(x + 3)(x − 2) = 0.
• Следовательно, корни уравнения:
  • x = 1
  • x = −3
  • x = 2

6. Быстрая проверка

• f(2) = 8 − 14 + 6 = 0
• f(−3) = −27 + 21 + 6 = 0
• f(1) уже проверяли: 0

Дополнительные заметки (для понимания):

• По правилу Вьета сумма корней для x^3 + ax^2 + bx + c равна −a. В нашем случае a = 0, значит сумма корней равна 0: 1 + 2 + (−3) = 0, что согласуется с найденными корнями.
• Все корни действительные и кратности здесь равны 1.

Ответ: x ∈ {1, 2, −3} (в произвольном порядке).