в) Отрезок М№ с концами на боковых сторонах АВ и CD трапеции АВСD параллелен основаниям. Чему равно AD, если ВС = 3, MN 7 и АМ: MB = 5:4?
Задача относится к трапеции ABCD с основаниями BC и AD и боковыми сторонами AB и CD. MN — отрезок, параллельный основаниям, с концами на AB и CD. Нам дано BC = 3, MN = 7 и отношение AM:MB = 5:4.
- Обозначения и параметризация
- Пусть AB — левая боковая сторона, CD — правая боковая сторона.
- Пусть высота трапеции равна H, основание BC лежит на уровне y = 0, основание AD — на уровне y = H.
- Точка M лежит на AB и AM/AB = 5/9 (так как AM:MB = 5:4, всего AB = 9 частей, AM = 5 частей).
- Точка N лежит на CD так, чтобы MN было параллельно основаниям.
Положение точки M по высоте Линия AB соединяет A (верхнее основание AD) и B (нижнее основание BC). По линейной зависимости координаты по высоте даются так, что y_M/H = 1 − AM/AB = 1 − 5/9 = 4/9. То есть MN находится на высоте y = (4/9)H.
Величина MN через пропорции оснований Для любой линии, параллельной основаниям, длина пропорциональна расстоянию по высоте: MN = BC + (AD − BC) · (y/MH) = BC + (AD − BC) · (4/9).
Даны MN = 7 и BC = 3. Подставляем и решаем относительно AD: 7 = 3 + (AD − 3) · (4/9) 4 = (AD − 3) · (4/9) AD − 3 = 4 · (9/4) = 9 AD = 12.
Ответ: AD = 12.
