В прямоугольнике EFTM диагонали пересекаются в точке О. ∠EFO = 31°. Найди ∠FOT.

Задача: В прямоугольнике EFTM диагонали ET и FM пересекаются в точке O. ∠EFO = 31°. Найди ∠FOT.

Решение (пошагово):

• Обозначим EF = a (длина основания) и EM = b (высота). Введём координаты: E(0,0), F(a,0), T(a,b), M(0,b). Тогда O — середина диагоналей, и O = (a/2, b/2).

• ∠EFO задаётся углом между FE и FO. Линия FE горизонтальна, поэтому угол между FE и FO равен наклону линии FO к горизонтали: FO имеет координаты F→O = (a/2 − a, b/2 − 0) = (−a/2, b/2), следовательно наклон FO равен (b/2)/(−a/2) = −b/a. Абсолютный угол между FE и FO равен arctan(b/a).По условию ∠EFO = 31°, значит tan(31°) = b/a.

• Теперь найдём ∠FOT — угол между OF и OT. Линии OF и OT имеют наклоны m1 и m2:

  • m1 (OF) = −b/a (диагональ FM),
  • m2 (OT) = b/a (диагональ ET).

  Угол между двумя прямыми с наклонами m1 и m2 определяется формулой tan θ = |(m2 − m1) / (1 + m1 m2)|. Подставим: tan θ = |(b/a − (−b/a)) / (1 + (−b/a)(b/a))| = (2b/a) / (1 − b^2/a^2) = (2ab) / (a^2 − b^2).

  Но tan α = b/a, где α = ∠EFO = 31°. Тогда tan θ = 2 tan α / (1 − tan^2 α) = tan(2α) = tan(62°). Следовательно θ = 62° (так как угол умеренный).

Ответ: ∠FOT = 62°.