y = -1/3 (х + 4)ˆ2;

Задача: y = -1/3 (x + 4)^2

Понимание и подробное решение

1. Вершинная форма параболы

• Уравнение задано в вершинной форме y = a(x − h)^2 + k.
• Здесь a = -1/3, h = -4, k = 0.
• Следовательно, вершина параболы V(-4, 0).
• Ось симметрии: x = -4.
• Парабола открывается вниз (поскольку a < 0).
• Максимум параболы достигается в вершине: y_max = 0.

2. Приведение к стандартной форме (раскроем скобки)

• (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16
• y = -1/3 (x^2 + 8x + 16) = -(1/3)x^2 - (8/3)x - 16/3
• Это стандартная форма y = ax^2 + bx + c с a = -1/3, b = -8/3, c = -16/3.

Проверка вершины через стандартную форму:

• x-координата вершины: x_v = -b/(2a) = -(-8/3) / (2 * -1/3) = (8/3) / (-2/3) = -4.
• y на вершине: подставим x = -4 в стандартную форму, получаем y = 0. Совпадает с вершинной формой.

3. Перехваты графика

• x-перехват (y = 0): -1/3 (x + 4)^2 = 0 → (x + 4)^2 = 0 → x = -4. Единственная точка пересечения с осью x: (-4, 0). Это двойной корень, парабола касается оси в вершине.
• y-перехват (x = 0): y = -1/3 (0 + 4)^2 = -16/3. Перехват с осью y: (0, -16/3).

4. Примеры значений графика

• x = -6: y = -1/3 ( -6 + 4 )^2 = -1/3 * 4 = -4/3
• x = -5: y = -1/3 ( -5 + 4 )^2 = -1/3 * 1 = -1/3
• x = -4: y = 0
• x = -3: y = -1/3
• x = -2: y = -4/3
• x = 0: y = -16/3

5. Свойства домена и множества значений

• Домен: все действительные числа.
• Область значений (множество значений): y ≤ 0 (поскольку вершина на y = 0 и парабола направлена вниз).

6. Краткое резюме

• Уравнение задаёт параболу с вершиной (-4, 0), ось x = -4, направление вниз.
• Вершинная форма: y = -1/3 (x + 4)^2.
• Стандартная форма: y = -(1/3)x^2 - (8/3)x - 16/3.
• Пересечения: с осью x в(-4, 0); с осью y в(0, -16/3).