Сторона ромба равна 30. Соединив последовательно середины его сторон, получили прямоугольник с периметром 84. Найдите площадь прямоугольника.

Задача по геометрии, уровень 11 класса. Решение подробно: 1) Обозначим ромб ABCD. Пусть диагонали ромба имеют длины p и q (то есть AC = p, BD = q). 2) Прямоугольник, образованный соединением последовательно середины сторон ромба, является параллелограммом Варингона. В случае ромба он оказывается прямоугольником, и его стороны равны половинам диагоналей оригинального ромба: - одна сторона = p/2, - другая сторона = q/2. 3) Периметр этого прямоугольника given = 84. Это дает: 2 · (p/2 + q/2) = p + q = 84. Значит, p + q = 84. 4) Связь диагоналей ромба с его сторонами: для ромба со стороны a выполняется p^2 + q^2 = 4a^2. Здесь a = 30, поэтому p^2 + q^2 = 4 · 30^2 = 3600. 5) Найдем произведение p·q из формулы (p + q)^2 = p^2 + q^2 + 2pq: (84)^2 = 3600 + 2pq → 7056 = 3600 + 2pq → 2pq = 3456 → pq = 1728. 6) Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: S = (p/2) · (q/2) = pq / 4 = 1728 / 4 = 432. Ответ: площадь прямоугольника равна 432 квадратных единиц. Дополнительная проверка (необязательно): можно найти сами диагонали из квадратного уравнения t^2 - (p+q)t + pq = 0, т.е. t^2 - 84t + 1728 = 0. Дискриминант Δ = 84^2 - 4·1728 = 144, корень 12, следовательно p и q равны (84 ± 12)/2 = 48 и 36. Это даёт те же значения p^2 + q^2 = 2304 + 1296 = 3600 и подтверждает результат.