Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1×1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой…
Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1×1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой клетки посчитали количество её соседей (соседними называются две клетки, имеющие общую сторону). Все посчитанные числа сложили и получили сумму 322. Найдите периметр прямоугольника.
Расставим обозначения и решение по шагам.
Пусть размеры прямоугольника: a и b клеток по сторонам (a, b ≥ 3).
Для каждой клетки число соседей по общим сторонам таково:
- внутренние клетки: 4 соседа
- крайние, но не угловые клетки: 3 соседа
- угловые клетки: 2 соседа
- Подсчёт общего числа соседей S по формулам:
- внутренние клетки: (a−2)(b−2) штук → вклад 4·(a−2)(b−2)
- крайние неугловые: 2(a−2) по каждой стороне, итого 2(a−2) + 2(b−2) штук → вклад 3·[2(a−2) + 2(b−2)] = 3·(2a+2b−8)
- угловые: 4 клетки → вклад 2·4 = 8
Итого S = 4(a−2)(b−2) + 3(2a+2b−8) + 8.
- Упростим выражение: 4(a−2)(b−2) = 4(ab − 2a − 2b + 4) = 4ab − 8a − 8b + 16 3(2a+2b−8) = 6a + 6b − 24
Суммируем: S = (4ab − 8a − 8b + 16) + (6a + 6b − 24) + 8 = 4ab − 2a − 2b.
По условию S = 322, значит 4ab − 2a − 2b = 322 или 2ab − a − b = 161.
Приведём к удобной форме через произведение: (2a − 1)(2b − 1) = 4ab − 2a − 2b + 1 = 2·161 + 1 = 323.
323 = 17·19 (и также 1·323). Возможные пары (2a−1, 2b−1): (1,323), (323,1), (17,19), (19,17).
- Если 2a−1 = 1 → a = 1 (недопустимо, нужно a ≥ 3).
- Если 2a−1 = 323 → a = 162, но тогда b = 1 (недопустимо).
- Остальные варианты дают: 2a−1 = 17, 2b−1 = 19 → a = 9, b = 10 или 2a−1 = 19, 2b−1 = 17 → a = 10, b = 9
Т.е. размеры прямоугольника либо 9×10, либо 10×9.
- Периметр прямоугольника P = 2(a + b) = 2(9 + 10) = 38.
Ответ: периметр прямоугольника равен 38.
