Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1 х 1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой клетки посчитали количество её соседей (соседними называются две клетки, имеющие общую сторону). Все посчитанные числа сложили и получили сумму 322. Найдите периметр прямоугольника.

Дано прямоугольник, разбитый на a × b клеток (a, b — целые, a ≥ 3, b ≥ 3). 1) Сумма количества соседей по всем клеткам - Внутренние клетки имеют по 4 соседа. - Клетки на границе, но не углы, имеют по 3 соседа. - Угловые клетки имеют по 2 соседа. Число таких клеток: - внутренних: (a−2)(b−2) - на границе, кроме углов: 2(a−2) + 2(b−2) - угловых: 4 Сумма соседей S равна: S = 4(a−2)(b−2) + 3[2(a−2) + 2(b−2)] + 2·4 after упрощения: S = 4ab − 2a − 2b. Нам дано S = 322, следовательно: 4ab − 2a − 2b = 322 2ab − a − b = 161. 2) Преобразование к простому факторному виду Добавим единицу к обеим сторонам выражения: (2a − 1)(2b − 1) = 4ab − 2a − 2b + 1 = 322 + 1 = 323. 323 = 17 · 19. Так как a ≥ 3, b ≥ 3, получаем 2a−1 ≥ 5 и 2b−1 ≥ 5. Единственные подходящие пары факторов с такими минимальными значениями — (17, 19) и (19, 17). Решения: - 2a − 1 = 17 и 2b − 1 = 19 → a = 9, b = 10 - или 2a − 1 = 19 и 2b − 1 = 17 → a = 10, b = 9 3) Периметр Периметр P прямоугольника равен 2(a + b). В обоих случаях a + b = 19, значит: P = 2 · 19 = 38. Ответ: 38.