Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1 х 1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой…

Дано прямоугольник, разбитый на a × b клеток (a, b — целые, a ≥ 3, b ≥ 3).

1. Сумма количества соседей по всем клеткам

• Внутренние клетки имеют по 4 соседа.
• Клетки на границе, но не углы, имеют по 3 соседа.
• Угловые клетки имеют по 2 соседа.

Число таких клеток:

• внутренних: (a−2)(b−2)
• на границе, кроме углов: 2(a−2) + 2(b−2)
• угловых: 4

Сумма соседей S равна: S = 4(a−2)(b−2) + 3[2(a−2) + 2(b−2)] + 2·4 after упрощения: S = 4ab − 2a − 2b.

Нам дано S = 322, следовательно: 4ab − 2a − 2b = 322 2ab − a − b = 161.

2. Преобразование к простому факторному виду Добавим единицу к обеим сторонам выражения: (2a − 1)(2b − 1) = 4ab − 2a − 2b + 1 = 322 + 1 = 323.

323 = 17 · 19. Так как a ≥ 3, b ≥ 3, получаем 2a−1 ≥ 5 и 2b−1 ≥ 5. Единственные подходящие пары факторов с такими минимальными значениями — (17, 19) и (19, 17).

Решения:

• 2a − 1 = 17 и 2b − 1 = 19 → a = 9, b = 10
• или 2a − 1 = 19 и 2b − 1 = 17 → a = 10, b = 9

3. Периметр Периметр P прямоугольника равен 2(a + b). В обоих случаях a + b = 19, значит: P = 2 · 19 = 38.

Ответ: 38.