график функции y = 3x² отразили относительно прямой описанной уравнением y = 2 - x. определите коэффициенты в уравнении получившейся параболы x = а y² + by + c

Задача: график параболы y = 3x^2 отражили относительно прямой y = 2 - x. Найти коэффициенты параболы в виде x = a y^2 + b y + c.

Пошаговое решение

1. Запишем прямую отражения

• Прямая задана как y = 2 - x, или x + y - 2 = 0. Пусть a = 1, b = 1, c = -2.

2. Формула отражения точки

• Для точки (x, y) её отражение через линию ax + by + c = 0 имеет координаты d = (a x + b y + c) / (a^2 + b^2) x' = x - 2 a d y' = y - 2 b d

3. Применим формулу к нашей прямой

• Здесь a = 1, b = 1, c = -2, поэтому d = (x + y - 2) / 2 x' = x - 2d = x - (x + y - 2) = 2 - y y' = y - 2d = y - (x + y - 2) = 2 - x

Итак, после отражения любая точка (x, y) переходит в (x', y') = (2 - y, 2 - x).

4. Связь между исходной параболой и её образом

• Исходная парабола задаётся y = 3x^2.
• Из полученного отображения имеем: x' = 2 - y => y = 2 - x' y' = 2 - x => x = 2 - y'

5. Подстановка в уравнение исходной параболы

• Подставим x и y в y = 3x^2: 2 - x' = 3 (2 - y')^2

6. Приведём к нужному виду

• Раскрываем скобки: (2 - y')^2 = y'^2 - 4y' + 4
• Тогда 2 - x' = 3 (y'^2 - 4y' + 4) = 3y'^2 - 12y' + 12
• Перенесём все члены в одну сторону: x' = 2 - (3y'^2 - 12y' + 12) = -3 y'^2 + 12 y' - 10

7. Ответ

• Новая парабола имеет вид x = a y^2 + b y + c с коэффициентами: a = -3, b = 12, c = -10

Проверка на примере

• Пусть исходная точка (x, y) = (0, 0) лежит на y = 3x^2. Её отражение: (x', y') = (2 - y, 2 - x) = (2, 2). В полученном виде: x = -3 y^2 + 12 y - 10 при y = 2 даёт x = -3·4 + 24 - 10 = 2, что совпадает с x' = 2. Соответственно решение верно.