Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1×1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой…
Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1×1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой клетки посчитали количество её соседей (соседними называются две клетки, имеющие общую сторону). Все посчитанные числа сложили и получили сумму 246 найдите периметр прямоугольника
Цель задачи: найти периметр прямоугольника с целыми сторонами a и b (a, b ≥ 3), заполненного квадратами 1×1, если сумма соседей по каждой клетке равна 246.
Шаги решения:
Обозначим размеры прямоугольника: a клеток по одной стороне и b по другой.
Каждый тип клетки имеет свои соседей:
- внутренние клетки (есть соседи со всех сторон): 4 соседа,
- грань без углов (клетки на сторонах, но не в углах): 3 соседа,
- угловые клетки: 2 соседа.
- Подсчёт суммы всех соседей S:
- внутренних клеток: (a-2)(b-2) таких клеток → 4 соседа у каждой: вклад 4(a-2)(b-2),
- граничных, не угловых: 2(a-2) по одной стороне и 2(b-2) по другой → всего 2(a-2)+2(b-2) клеток, у каждой по 3 соседа: вклад 3[2(a-2)+2(b-2)],
- угловых клеток: 4 клетки, у каждой по 2 соседа: вклад 8.
Итого: S = 4(a-2)(b-2) + 3[2(a-2) + 2(b-2)] + 8.
- Упростим выражение: S = 4ab - 2a - 2b.
Дано S = 246, значит: 4ab - 2a - 2b = 246. Разделим на 2: 2ab - a - b = 123.
Приведём к удобной форме через произведение: (2a - 1)(2b - 1) = 4ab - 2a - 2b + 1 = 2[2ab - a - b] + 1 = 2·123 + 1 = 247.
247 = 13 · 19, поэтому возможны пары:
- 2a - 1 = 13 и 2b - 1 = 19 → a = 7, b = 10,
- 2a - 1 = 19 и 2b - 1 = 13 → a = 10, b = 7.
Оба варианта дают тот же периметр, так как сумма сторон одинакова.
- Периметр P прямоугольника: P = 2(a + b).
- для (a, b) = (7, 10): P = 2(7 + 10) = 34.
- для (a, b) = (10, 7): тоже P = 34.
Ответ: периметр прямоугольника равен 34.
