К задаче можно подчасить понятия длины сторон прямоугольника m и n (количество клеток по горизонтали и вертикали).
Пошаговое решение:
- Пусть прямоугольник состоит из m × n клеток.
- У каждой клетки число соседей по сторонам:
- внутренние клетки имеют 4 соседа,
- крайние (не угловые) — 3,
- угловые — 2.
- Сумма всех чисел соседей по всем клеткам равна сумме степеней в графе плитки. Это равно 2 умножить на количество рёбер между соседними клетками: S = 2[(m−1)n + m(n−1)] = 4mn − 2m − 2n.
По условию сумма этих чисел равна 186, значит:
4mn − 2m − 2n = 186.
Сократим на 2:
2mn − m − n = 93.
Заметим, что
(2m − 1)(2n − 1) = 4mn − 2m − 2n + 1 = 2(2mn − m − n) + 1 = 2·93 + 1 = 187.
187 = 11 · 17, следовательно возможны пары:
- 2m − 1 = 11, 2n − 1 = 17 → m = 6, n = 9
- 2m − 1 = 17, 2n − 1 = 11 → m = 9, n = 6
- 2m − 1 = 1, 2n − 1 = 187 → m = 1, n = 94
- 2m − 1 = 187, 2n − 1 = 1 → m = 94, n = 1
Перемножение сторон даёт периметр P = 2(m + n).
Условия задачи обычно требуют, чтобы длины сторон быть не меньше 3. В таком случае остаются пары (6, 9) или (9, 6).
Периметр в обоих случаях:
P = 2(6 + 9) = 2·15 = 30.
Проверка: подставим m = 6, n = 9:
S = 4mn − 2m − 2n = 4·54 − 12 − 18 = 216 − 30 = 186, как дано.
Ответ: периметр прямоугольника равен 30 единиц.
