В буфете продаются только булочки по 14 рублей и пирожки по19 рублей. Выручка буфета за день составила 1200 рублей. Сколько могли продать булочек и пирожков вместе взятых?…

Задача решается как линейное диофантово уравнение: 14x + 19y = 1200, где x — количество булочек, y — количество пирожков (обе переменные целые неотрицательные).

1. Найдём решение по модулю 19:

• 1200 ≡ 3 (mod 19), потому что 19×63 = 1197, остаток 3.
• 14x ≡ 3 (mod 19).
• Нахожим обратную к 14 по модулю 19. 14×15 = 210 ≡ 1 (mod 19), значит обратная к 14 — это 15.
• Тогда x ≡ 15×3 ≡ 45 ≡ 7 (mod 19). Получаем x = 7 + 19t, где t — целое число.

2. Подставим в уравнение и найдём y: y = (1200 − 14x)/19 = (1200 − 14(7 + 19t))/19 = (1200 − 98 − 266t)/19 = (1102 − 266t)/19 = 58 − 14t.

3. Ограничения на t (x ≥ 0 и y ≥ 0):

• x = 7 + 19t ≥ 0 даёт t ≥ 0 (если t = −1, x было бы −12, что нельзя).
• y = 58 − 14t ≥ 0 даёт t ≤ 58/14 ≈ 4.14, значит t ≤ 4.

Следовательно, допустимые t: 0, 1, 2, 3, 4.

4. Варианты продаж (булочек x и пирожков y) и итоговое количество позиций x + y:

• t = 0: x = 7 булочек, y = 58 пирожков → всего 65 изделий
• t = 1: x = 26 булочек, y = 44 пирожка → всего 70 изделий
• t = 2: x = 45 булочек, y = 30 пирожков → всего 75 изделий
• t = 3: x = 64 булочки, y = 16 пирожков → всего 80 изделий
• t = 4: x = 83 булочки, y = 2 пирожка → всего 85 изделий

Итог: возможно 5 вариантов сочетаний продаж булочек и пирожков: (7,58), (26,44), (45,30), (64,16), (83,2) — по сумме позиций соответственно 65, 70, 75, 80 и 85 штук.