В буфете продаются только булочки по 14 рублей и пирожки по 19 рублей. Выручка буфета за день составила 1000 рублей. Сколько могли продать булочек и пирожков вместе взятых?

Цель: понять решение подробно.

Задача: пусть x — количество булочек (по 14 руб.), y — количество пирожков (по 19 руб.). Тогда 14x + 19y = 1000, x ≥ 0, y ≥ 0.

1. Решаем по модулю 19. 14x ≡ 1000 (mod 19).

• 1000 ≡ 12 (mod 19).
• Найдём обратную к 14 по модулю 19. 14⋅15 ≡ 1 (mod 19), значит обратная равна 15.
• Тогда x ≡ 15⋅12 ≡ 180 ≡ 9 (mod 19).

Положим x = 9 + 19t, где t — целое число.

2. Найдём y через подстановку: 14x + 19y = 1000 → 14(9 + 19t) + 19y = 1000 126 + 266t + 19y = 1000 19y = 874 − 266t y = 46 − 14t.

3. Неотрицательные решения требуют x ≥ 0 и y ≥ 0:

• x ≥ 0: 9 + 19t ≥ 0 → t ≥ −9/19 → t ≥ 0 (целые).
• y ≥ 0: 46 − 14t ≥ 0 → t ≤ 46/14 ≈ 3.28 → t ≤ 3.

Следовательно, t ∈ {0, 1, 2, 3}.

4. Приведём варианты (x, y) и всего товаров x + y:

• t = 0: x = 9, y = 46 → итого булочек+пирожков = 55
• t = 1: x = 28, y = 32 → итого = 60
• t = 2: x = 47, y = 18 → итого = 65
• t = 3: x = 66, y = 4 → итого = 70

Итого возможны 4 комбинации:

• Булочек 9 и пирожков 46 (55 изделий),
• Булочек 28 и пирожков 32 (60 изделий),
• Булочек 47 и пирожков 18 (65 изделий),
• Булочек 66 и пирожков 4 (70 изделий).

Ответ: всего могли быть проданы 55, 60, 65 или 70 изделий (возможны четыре варианта сочетания). Также можно привести сами пары и проверить сумму: все корректно дают выручку 1000 рублей.