В буфете продаются только булочки по 14 рублей и пирожки по 19 рублей. Выручка буфета за день составила 1000 рублей. Сколько могли продать булочек и пирожков вместе взятых?

Цель: понять решение подробно. Задача: пусть x — количество булочек (по 14 руб.), y — количество пирожков (по 19 руб.). Тогда 14x + 19y = 1000, x ≥ 0, y ≥ 0. 1) Решаем по модулю 19. 14x ≡ 1000 (mod 19). - 1000 ≡ 12 (mod 19). - Найдём обратную к 14 по модулю 19. 14⋅15 ≡ 1 (mod 19), значит обратная равна 15. - Тогда x ≡ 15⋅12 ≡ 180 ≡ 9 (mod 19). Положим x = 9 + 19t, где t — целое число. 2) Найдём y через подстановку: 14x + 19y = 1000 → 14(9 + 19t) + 19y = 1000 126 + 266t + 19y = 1000 19y = 874 − 266t y = 46 − 14t. 3) Неотрицательные решения требуют x ≥ 0 и y ≥ 0: - x ≥ 0: 9 + 19t ≥ 0 → t ≥ −9/19 → t ≥ 0 (целые). - y ≥ 0: 46 − 14t ≥ 0 → t ≤ 46/14 ≈ 3.28 → t ≤ 3. Следовательно, t ∈ {0, 1, 2, 3}. 4) Приведём варианты (x, y) и всего товаров x + y: - t = 0: x = 9, y = 46 → итого булочек+пирожков = 55 - t = 1: x = 28, y = 32 → итого = 60 - t = 2: x = 47, y = 18 → итого = 65 - t = 3: x = 66, y = 4 → итого = 70 Итого возможны 4 комбинации: - Булочек 9 и пирожков 46 (55 изделий), - Булочек 28 и пирожков 32 (60 изделий), - Булочек 47 и пирожков 18 (65 изделий), - Булочек 66 и пирожков 4 (70 изделий). Ответ: всего могли быть проданы 55, 60, 65 или 70 изделий (возможны четыре варианта сочетания). Также можно привести сами пары и проверить сумму: все корректно дают выручку 1000 рублей.