формулы

Отлично. Так как цель — понять, ниже собран компактный справочник основных формул средней школы по геометрии и алгебре с короткими пояснениями и примерами. Если у тебя будет конкретная задача, пришли её текст или фото — разберу пошагово.

1. Геометрия. Площади и периметры

• Прямоугольник
  • Площадь: S = a · b
  • Периметр: P = 2(a + b)
  • Пример: a = 5, b = 3 → S = 15, P = 16
• Квадрат
  • Площадь: S = a^2
  • Периметр: P = 4a
  • Пример: a = 4 → S = 16, P = 16
• Треугольник
  • Площадь: S = 1/2 · b · h
  • Пример: основание b = 6, высота h = 4 → S = 12
• Трапеция
  • Площадь: S = 1/2 · (b1 + b2) · h
  • Пример: основания 5 и 3, высота 4 → S = 16
• Окружность
  • Площадь: S = π r^2
  • Длина окружности: C = 2πr
  • Пример: r = 7 → S ≈ 153.94, C ≈ 43.98
• Тела вращения
  • Шар: V = (4/3)π r^3
  • Цилиндр: V = π r^2 h
  • Пирамида: V = (1/3) · Sоснования · h
  • Призма: V = Sоснования · h
  • Пример: цилиндр с r = 2, h = 5 → V ≈ 62.83

2. Геометрия. Формула треугольников и координаты

• Площадь треугольника по трём сторонам (формула Герона)
  • p = (a + b + c)/2, S = √[p(p − a)(p − b)(p − c)]
• Пифагоровы теорема
  • Для прямоугольного треугольника: a^2 + b^2 = c^2 (катеты a, b; гипотенауза c)
• Расстояние между двумя точками на плоскости
  • d = √[(x2 − x1)^2 + (y2 − y1)^2]
• Средина отрезка
  • M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)

3. Координатная геометрия. Прямая

• Уравнение прямой через две точки: y − y1 = m(x − x1), где m = (y2 − y1)/(x2 − x1)
• Уравнение прямой в виде y = kx + b: b = y1 − kx1
• Прямая параллельна другой, если у неё тот же наклон k; пересеkается — если другой k
• Пример: через точки (1,2) и (3,6) наклон m = (6−2)/(3−1) = 2; уравнение y − 2 = 2(x − 1) → y = 2x

4. Алгебра. Квадратные уравнения и линейные

• Линейное уравнение
  • ax + b = 0 → x = −b/a (a ≠ 0)
• Квадратное уравнение
  • ax^2 + bx + c = 0
  • Дискриминант D = b^2 − 4ac
  • Корни: x1,2 = [−b ± √D] / (2a)
  • D > 0 → два корня; D = 0 → один корень; D < 0 → вещественных корней нет
• Примеры
  • 2x^2 − 4x − 6 = 0: D = 16 + 48 = 64 → x = [4 ± 8]/4 → x = 3 или x = −1
  • 3x^2 + x − 2 = 0: D = 1 + 24 = 25 → x = [−1 ± 5]/6 → x = 2/3 или x = −1

5. Пропорции и проценты

• Пропорции: a:b = c:d (кросс-умножение: ad = bc)
• Проценты
  • Часть от числа: P% от A = (P/100) · A
  • Увеличение/уменьшение на процент: A → A(1 ± r), где r — десятичная доля изменения
• Пример: 20% от 150 → 0.20 · 150 = 30

6. Тригонометрия (кратко)

• Определения в прямоугольном треугольнике: sin α = противолежащий/гипотенуза; cos α = прилежащий/гипотенуза; tan α = противолежащий/прилежащий
• Основное тождество: sin^2 α + cos^2 α = 1
• Формулы двойного угла (для базовых задач): sin 2α = 2 sin α cos α; cos 2α = cos^2 α − sin^2 α
• Пример: в прямоугольном треугольнике с углом α, катеты 3 и 4, гипотенуза 5:
  • sin α = 3/5, cos α = 4/5, tan α = 3/4

7. Примеры применения. Пошагово

• Пример 1. Найди площадь круга: радиус r = 5
  • S = π r^2 = π · 25 ≈ 78.54
• Пример 2. Найди корни квадратного уравнения 2x^2 − 4x − 6 = 0
  • D = 16 − 4·2·(−6) = 64
  • x1,2 = [4 ± 8]/4 → x1 = 3, x2 = −1
• Пример 3. Расстояние между точками A(1, 2) и B(4, 6)
  • d = √[(4−1)^2 + (6−2)^2] = √[9 + 16] = √25 = 5
• Пример 4. Уравнение прямой через точки (0,1) и (2,3)
  • m = (3−1)/(2−0) = 1
  • Уравнение: y − 1 = 1(x − 0) → y = x + 1

Как использовать эти формулы на практике

• Определи, что дано в задаче: площади/объемы, расстояния, корни уравнения, график функции и т.д.
• Запиши известные переменные и то, что нужно найти.
• Выбери соответствующую формулу. Проверяй единицы измерения.
• Раскрой выражение шаг за шагом и подставь числа.
• Если результат кажется странным, перепроверь вычисления (например, дискриминант или диагональ неотрицательны в рамках задачи).

Если хочешь, пришли конкретную задачу (текстом или фото), и я дам подробное пошаговое решение именно под неё.