Формулы

Отлично. Так как цель — понять, ниже собран компактный справочник основных формул средней школы по геометрии и алгебре с короткими пояснениями и примерами. Если у тебя будет конкретная задача, пришли её текст или фото — разберу пошагово. 1) Геометрия. Площади и периметры - Прямоугольник - Площадь: S = a · b - Периметр: P = 2(a + b) - Пример: a = 5, b = 3 → S = 15, P = 16 - Квадрат - Площадь: S = a^2 - Периметр: P = 4a - Пример: a = 4 → S = 16, P = 16 - Треугольник - Площадь: S = 1/2 · b · h - Пример: основание b = 6, высота h = 4 → S = 12 - Трапеция - Площадь: S = 1/2 · (b1 + b2) · h - Пример: основания 5 и 3, высота 4 → S = 16 - Окружность - Площадь: S = π r^2 - Длина окружности: C = 2πr - Пример: r = 7 → S ≈ 153.94, C ≈ 43.98 - Тела вращения - Шар: V = (4/3)π r^3 - Цилиндр: V = π r^2 h - Пирамида: V = (1/3) · Sоснования · h - Призма: V = Sоснования · h - Пример: цилиндр с r = 2, h = 5 → V ≈ 62.83 2) Геометрия. Формула треугольников и координаты - Площадь треугольника по трём сторонам (формула Герона) - p = (a + b + c)/2, S = √[p(p − a)(p − b)(p − c)] - Пифагоровы теорема - Для прямоугольного треугольника: a^2 + b^2 = c^2 (катеты a, b; гипотенауза c) - Расстояние между двумя точками на плоскости - d = √[(x2 − x1)^2 + (y2 − y1)^2] - Средина отрезка - M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2) 3) Координатная геометрия. Прямая - Уравнение прямой через две точки: y − y1 = m(x − x1), где m = (y2 − y1)/(x2 − x1) - Уравнение прямой в виде y = kx + b: b = y1 − kx1 - Прямая параллельна другой, если у неё тот же наклон k; пересеkается — если другой k - Пример: через точки (1,2) и (3,6) наклон m = (6−2)/(3−1) = 2; уравнение y − 2 = 2(x − 1) → y = 2x 4) Алгебра. Квадратные уравнения и линейные - Линейное уравнение - ax + b = 0 → x = −b/a (a ≠ 0) - Квадратное уравнение - ax^2 + bx + c = 0 - Дискриминант D = b^2 − 4ac - Корни: x1,2 = [−b ± √D] / (2a) - D > 0 → два корня; D = 0 → один корень; D < 0 → вещественных корней нет - Примеры - 2x^2 − 4x − 6 = 0: D = 16 + 48 = 64 → x = [4 ± 8]/4 → x = 3 или x = −1 - 3x^2 + x − 2 = 0: D = 1 + 24 = 25 → x = [−1 ± 5]/6 → x = 2/3 или x = −1 5) Пропорции и проценты - Пропорции: a:b = c:d (кросс-умножение: ad = bc) - Проценты - Часть от числа: P% от A = (P/100) · A - Увеличение/уменьшение на процент: A → A(1 ± r), где r — десятичная доля изменения - Пример: 20% от 150 → 0.20 · 150 = 30 6) Тригонометрия (кратко) - Определения в прямоугольном треугольнике: sin α = противолежащий/гипотенуза; cos α = прилежащий/гипотенуза; tan α = противолежащий/прилежащий - Основное тождество: sin^2 α + cos^2 α = 1 - Формулы двойного угла (для базовых задач): sin 2α = 2 sin α cos α; cos 2α = cos^2 α − sin^2 α - Пример: в прямоугольном треугольнике с углом α, катеты 3 и 4, гипотенуза 5: - sin α = 3/5, cos α = 4/5, tan α = 3/4 7) Примеры применения. Пошагово - Пример 1. Найди площадь круга: радиус r = 5 - S = π r^2 = π · 25 ≈ 78.54 - Пример 2. Найди корни квадратного уравнения 2x^2 − 4x − 6 = 0 - D = 16 − 4·2·(−6) = 64 - x1,2 = [4 ± 8]/4 → x1 = 3, x2 = −1 - Пример 3. Расстояние между точками A(1, 2) и B(4, 6) - d = √[(4−1)^2 + (6−2)^2] = √[9 + 16] = √25 = 5 - Пример 4. Уравнение прямой через точки (0,1) и (2,3) - m = (3−1)/(2−0) = 1 - Уравнение: y − 1 = 1(x − 0) → y = x + 1 Как использовать эти формулы на практике - Определи, что дано в задаче: площади/объемы, расстояния, корни уравнения, график функции и т.д. - Запиши известные переменные и то, что нужно найти. - Выбери соответствующую формулу. Проверяй единицы измерения. - Раскрой выражение шаг за шагом и подставь числа. - Если результат кажется странным, перепроверь вычисления (например, дискриминант или диагональ неотрицательны в рамках задачи). Если хочешь, пришли конкретную задачу (текстом или фото), и я дам подробное пошаговое решение именно под неё.