На основании АС треугольника АВС выбрана точка N. Оказалось, что угол BNC в два раза больше угла ВАС, а угол BN A в два раза больше угла ВС'А. Найдите длину отрезка BN, если АВ = 4, СВ = 6. В ответ запишите полученное значение, возведённое в квадрат.

Задача решается так, чтобы получить BN^2. 1) Найдём угол ABC. - Точки A, B, C заданы так, что AB = 4, BC = 6 и N лежит на стороне AC. - Из условий ∠BNC = 2∠BAC и ∠BNA = 2∠BCA следует, что ∠BNC + ∠BNA = 180°. Значит 2∠BAC + 2∠BCA = 180°, поэтому ∠BAC + ∠BCA = 90°. Тогда ∠ABC = 180° − (∠BAC + ∠BCA) = 90°. То есть треугольник ABC прямой в B. 2) Поставим треугольник в координатную систему. - Пусть B = (0,0), A = (4,0), C = (0,6). Тогда AB ⟂ BC и AB = 4, BC = 6. - Вектор BA = A − B = (4,0), вектор BC = C − B = (0,6). Угол ∠BAC можно найти через векторы BA и CA, но удобнее вычислить через стороны треугольника ABC: ∠BAC = α, ∠BCA = β, и α + β = 90°. - Вычислим cos α и sin α: для ∠BAC между BA = (-4,0) и CA = (-4,6) имеем cos α = (BA·CA)/(|BA||CA|) = 16/(4√52) = 2/√13, sin α = 3/√13. Следовательно cos 2α = cos^2 α − sin^2 α = (4 − 9)/13 = −5/13. 3) Параметризуем точку N на AC. - Пусть N = A + t(C − A) = (4,0) + t(−4,6) = (4 − 4t, 6t), t ∈ [0,1]. - Вектор NB = B − N = (−4 + 4t, −6t). - Вектор NC = C − N = (−4 + 4t, 6 − 6t) = (t − 1)(4, −6). 4) Используем условие ∠BNC = 2α. - Косинус угла между NB и NC равен: cos ∠BNC = (NB·NC) / (|NB||NC|). - Вычисления дают (при t < 1) cos ∠BNC = −[4(13t − 4)] / (√52 · √(16(t − 1)² + 36t²)). - Требование cos ∠BNC = cos 2α = −5/13 даёт уравнение [4(13t − 4)] / (√52 · √(16(t − 1)² + 36t²)) = 5/13. - Решая получаем квадратное уравнение, которое даёт два корня: t = 1/2 или t = 39/338. 5) Выбор физически корректного N. - При t = 1/2 точка N = (2,3). В этом случае ∠BNC = 2α ≈ 112.6°, что согласуется с α ≈ 56.3°. - При t ≈ 0.115 корень даёт косинус ∠BNC положительный, то есть ∠BNC ≈ 67.4°, что не совпадает с 2α (около 112.6°). Следовательно, действительно N — середина AC, то есть t = 1/2. 6) Найдём BN и BN^2. - N = (2, 3), B = (0, 0). Вектор BN = N − B = (2, 3), поэтому BN^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13. Ответ: BN^2 = 13.