Задача Задача №3473349
А
А
Укажите правильную формулу для средней квадратичной ошибки измерений при n независимых измерениях величины X
Ниже подробное решение и объяснение.
Цель задачи: указать правильную формулу средней квадратичной ошибки (RMSE) для n независимых измерений величины X.
- Общие определения
- Пусть есть n независимых измерений X1, X2, ..., Xn истинной величины X.
- Ошибка i-го измерения: ei = Xi − X.
- Средняя квадратичная ошибка (RMSE) — корень из средней квадратичной ошибки по всем измерениям: RMSE^2 = (1/n) ∑{i=1}^n (Xi − X)^2 RMSE = sqrt( (1/n) ∑{i=1}^n (Xi − X)^2 ).
- Что делать, если истинное значение X неизвестно
- Обычно X неизвестно, поэтому его заменяют на оценку X̄ — среднее выборки: X̄ = (1/n) ∑_{i=1}^n Xi.
- Тогда оцениваемая RMSE: RMSE_est ≈ sqrt( (1/n) ∑_{i=1}^n (Xi − X̄)^2 ).
- Обозначим сумму квадратов отклонений от среднего: S = ∑_{i=1}^n (Xi − X̄)^2. Тогда RMSE_est = sqrt( S / n ).
- Связь с дисперсией и стандартным отклонением
- Выборочная дисперсия: s^2 = (1/(n−1)) ∑ (Xi − X̄)^2 = S/(n−1).
- Следовательно, RMSE_est и s связаны так: RMSE_est = sqrt( S / n ) = s · sqrt((n−1)/n).
- Примечание: RMSE_est немного меньше стандартного отклонения s, т.к. S делится на n, тогда как s делится на n−1.
- Пример Пусть n = 4, измерения: X1 = 10.1, X2 = 9.9, X3 = 10.0, X4 = 10.2.
- X̄ = (10.1 + 9.9 + 10.0 + 10.2)/4 = 10.05.
- Отклонения: 0.05, −0.15, −0.05, 0.15.
- S = 0.05^2 + (−0.15)^2 + (−0.05)^2 + 0.15^2 = 0.0025 + 0.0225 + 0.0025 + 0.0225 = 0.05.
- RMSE_est = sqrt( S / n ) = sqrt(0.05/4) ≈ sqrt(0.0125) ≈ 0.112.
- s^2 = S/(n−1) = 0.05/3 ≈ 0.0167 ⇒ s ≈ 0.129.
- Проверка: RMSE_est ≈ s · sqrt((n−1)/n) = 0.129 · sqrt(3/4) ≈ 0.112. Совпадает.
Итого
- Правильная формула для RMSE при известных Xi и истинной величине X: RMSE = sqrt( (1/n) ∑ (Xi − X)^2 ).
- При неопределённости X и использовании выборочного среднего X̄: RMSE ≈ sqrt( (1/n) ∑ (Xi − X̄)^2 ) = sqrt( S / n ), где S = ∑ (Xi − X̄)^2.
