Укажите правильную формулу для средней квадратичной ошибки измерений при n независимых измерениях величины X

Ниже подробное решение и объяснение. Цель задачи: указать правильную формулу средней квадратичной ошибки (RMSE) для n независимых измерений величины X. 1) Общие определения - Пусть есть n независимых измерений X1, X2, ..., Xn истинной величины X. - Ошибка i-го измерения: ei = Xi − X. - Средняя квадратичная ошибка (RMSE) — корень из средней квадратичной ошибки по всем измерениям: RMSE^2 = (1/n) ∑_{i=1}^n (Xi − X)^2 RMSE = sqrt( (1/n) ∑_{i=1}^n (Xi − X)^2 ). 2) Что делать, если истинное значение X неизвестно - Обычно X неизвестно, поэтому его заменяют на оценку X̄ — среднее выборки: X̄ = (1/n) ∑_{i=1}^n Xi. - Тогда оцениваемая RMSE: RMSE_est ≈ sqrt( (1/n) ∑_{i=1}^n (Xi − X̄)^2 ). - Обозначим сумму квадратов отклонений от среднего: S = ∑_{i=1}^n (Xi − X̄)^2. Тогда RMSE_est = sqrt( S / n ). 3) Связь с дисперсией и стандартным отклонением - Выборочная дисперсия: s^2 = (1/(n−1)) ∑ (Xi − X̄)^2 = S/(n−1). - Следовательно, RMSE_est и s связаны так: RMSE_est = sqrt( S / n ) = s · sqrt((n−1)/n). - Примечание: RMSE_est немного меньше стандартного отклонения s, т.к. S делится на n, тогда как s делится на n−1. 4) Пример Пусть n = 4, измерения: X1 = 10.1, X2 = 9.9, X3 = 10.0, X4 = 10.2. - X̄ = (10.1 + 9.9 + 10.0 + 10.2)/4 = 10.05. - Отклонения: 0.05, −0.15, −0.05, 0.15. - S = 0.05^2 + (−0.15)^2 + (−0.05)^2 + 0.15^2 = 0.0025 + 0.0225 + 0.0025 + 0.0225 = 0.05. - RMSE_est = sqrt( S / n ) = sqrt(0.05/4) ≈ sqrt(0.0125) ≈ 0.112. - s^2 = S/(n−1) = 0.05/3 ≈ 0.0167 ⇒ s ≈ 0.129. - Проверка: RMSE_est ≈ s · sqrt((n−1)/n) = 0.129 · sqrt(3/4) ≈ 0.112. Совпадает. Итого - Правильная формула для RMSE при известных Xi и истинной величине X: RMSE = sqrt( (1/n) ∑ (Xi − X)^2 ). - При неопределённости X и использовании выборочного среднего X̄: RMSE ≈ sqrt( (1/n) ∑ (Xi − X̄)^2 ) = sqrt( S / n ), где S = ∑ (Xi − X̄)^2.