Задача: булочек по 14 руб. и пирожков по 24 руб., выручка 1100 руб. Нужно найти количества изделий.
Обозначим:
- x — количество булочек
- y — количество пирожков
Тогда уравнение: 14x + 24y = 1100.
Упростим на 2:
7x + 12y = 550.
Найдем целочисленные решения. Выразим x через y:
7x = 550 − 12y → x = (550 − 12y)/7.
Чтобы x было целым, 550 − 12y должно быть кратно 7.
Решим по модулю:
550 ≡ 4 (мод 7), 12 ≡ 5 (мод 7) → 4 − 5y ≡ 0 (мод 7) → 5y ≡ 4 (мод 7).
Обратный к 5 по модулю 7 равен 3 (потому что 5·3 = 15 ≡ 1), значит y ≡ 3·4 ≡ 12 ≡ 5 (мод 7).
Т.е. y = 5 + 7k, где k целое. Подставим в выражение для x:
x = (550 − 12(5 + 7k))/7 = (550 − 60 − 84k)/7 = (490 − 84k)/7 = 70 − 12k.
Требуются неп negativity:
y ≥ 0 → 5 + 7k ≥ 0 → k ≥ −5/7 → k ≥ 0 (целое);
x ≥ 0 → 70 − 12k ≥ 0 → k ≤ 70/12 ≈ 5.83 → k ≤ 5.
Таким образом, k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Получаем пары (x, y):
- k = 0: (x, y) = (70, 5) → 70 булочек и 5 пирожков
- k = 1: (x, y) = (58, 12)
- k = 2: (x, y) = (46, 19)
- k = 3: (x, y) = (34, 26)
- k = 4: (x, y) = (22, 33)
- k = 5: (x, y) = (10, 40)
Проверка: в каждом случае 14x + 24y = 1100.
Число возможных вариантов и общие суммы изделий:
- Всего вариантов: 6.
- Сумма изделий (x + y) для вариантов: 75, 70, 65, 60, 55, 50 соответственно.
Итого: существует 6 допустимых сочетаний продаж, и вместе могли быть проданы от 50 до 75 изделий, шагом по 5, конкретно по перечисленным парам. Если нужно, можно выбрать любую из этих пар или определить, сколько изделий было продано, зная дополнительное ограничение (например, максимум или минимум булочек/пирожков).
